euler

Identidad de Euler
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por relacionar cinco números muy utilizados en la historia delas matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la misma:

Donde:
π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está presente en variasde las ecuaciones más fundamentales de la física.
e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece en numerosos procesos naturales y en diferentes problemas físicos y matemáticos yes también un número irracional y trascendental.
i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números complejos.
0 y 1 son los elementosneutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:

]Derivación


Fórmula de Euler para un ángulo general.
La identidad es un casoespecial de la Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en radianes.) En particular sientonces

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad


Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamosque:


en la expansión polinomial de e a la potencia x:


para obtener:


simplificando (usando i2 = -1):


Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de números negativos
Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos denúmeros negativos. Gracias a la identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, 



 Podemos proceder de la siguiente manera:

Sabiendo que :...