Euler

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ECUACIONES DIFERENCIALES: La siguiente ecuación basada en la segunda ley de Newton para calcular la velocidad ‘v’ de un paracaidista en caída libre en función del tiempo ‘t’, es:

en donde ‘g ‘ es la constante gravitacional, ‘m ’ es la masa y ‘c’ es el coeficiente de arrastre. Tales ecuaciones, que se componen de una función desconocida y de sus derivadas, son llamadas ecuaciones diferenciales. Algunas veces son conocidas como ecuaciones de razón, ya que expresan la razón de cambio de una variable en función de otras variables ó parámetros. Dichas ecuaciones desempeñan un papel importante en la ingeniería debido a que muchos fenómenos físicos se formulan matemáticamente mejor en términos de su razón de cambio. La variable que se diferenciará, v, es conocida como variable dependiente;la cantidad con respecto a la cual v es diferenciada, t, se conoce como variable independiente. Cuando la función involucra una sola variable independiente, la ecuación es llamada ecuación diferencial ordinaria (o EDO); esto contrasta con lo que se conoce como ecuación diferencial parcial (o EDP), la cual involucra dos o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasificantambién en cuanto a su orden. En las ecuaciónes de prim er orden, la derivada más alta es una primera derivada. Una ecuación de segundo orden incluirá una segunda derivada. Por ejemplo, la ecuación que describe la posición ‘x’ de un sistema masa-resorte con amortiguamiento es la siguiente:

en donde ‘c’ es el coeficiente de amortiguamiento y ‘k’ es la constante del resorte. En forma similar, en unaecuación de n-ésimo orden se deberá incluir una n-ésima derivada. Toda Ecuaciones de orden superior se puede reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden. Para la ecuación anterior, esto se realiza al definir una nueva variable ‘y’, donde:

Y=

-----(I)

la cual al derivarla obtendremos

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Sustituyendo ecuaciones: --- (II) Acomodando términos: --- (III)

De donde, las ecuaciones(I) Y (II) son un par de ecuaciones de primer orden equivalentes a la ecuación de segundo orden original. Debido a que otras ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden pueden ser reducidas en forma similar, nuestro tema se centrará en la solución de ecuaciones de primer orden. Algunas aplicaciones en la ingeniería tratan con la solución de EDO de segundo Orden reduciéndolas a un par de ecuacionesde primer orden. Ecuaciones diferenciales de 1er orden : Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se expresa de la siguiente forma:
y ' = f ( x, y )

El problema que pude presentarse es tener que calcular una función y = f(x) tal que verifique la ecuación anterior con una condición de entorno: y(x0) = y0. El siguiente Teorema de Cauchy sólo garantiza la existencia y unicidad de lasolución bajo las siguientes condiciones restrictivas: TEOREMA DE CAUCHY: “Si f(x, y) es analítica en un dominio que contiene al punto (x0, y0), existirá una, y sólo una, función analítica y(x) que verifique la ecuación”:
y' = dy = f ( x, y ) dx

con la condición de entorno: y ( x0 ) = y0

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Método de Euler: Es un método sencillo para la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden.Sea:
dy = f ( x, y ) dx

con la condición de entorno: y ( x0 ) = y0 Supongamos que y(x) es la solución exacta del problema. Si tomamos una ‘x’ lo suficientemente próxima a x0, podemos tomar la siguiente aproximación: y ( x) ≅ y ( x0 ) + dy ( x − x0 ) dx x0 Valores de ‘x’ y ‘y’ de la Función ya derivada

y ( x) ≅ y ( x0 ) +

dy ( x − x0 ) = y0 + f ( x0 , y0 ) ( x − x0 ) dx x0

Así si, porejemplo, tomamos una x1 = x0+h, podemos calcular el valor correspondiente y1 = y(x1) de la siguiente forma: x1 = x0 + h y1 ≅ y0 + f ( x0 , y0 ) h Algoritmo:

Si ahora quisiéramos calcular la solución en un punto posterior, partiríamos de:
dy = f ( x, y ) dx

Con la nueva condición de entorno: y ( x1 ) ≅ y1 Utilizar el método de Euler simple para aproximar el valor de la solución de la...
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