Evaluaciones por competencias
Derivada de un cociente de funciones Considérense, como en los casos precedentes, dos funciones f y g definidas y derivables en un punto x. Además, en este caso, se tiene que imponer la condición de que la función g no se anule en x.
Si en la segunda fracción se suma y se resta al numerador f(x) · g(x), se obtiene: Sacando factor común g(x) en los dos primerossumandos de la segunda fracción, y f(x) en los dos últimos,
Por último, se toman límites cuando h tiende a cero notando que:
En definitiva,
Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución: Derivada de la función tg x
si f(x) = sen x, f ' (x) = cos x
si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Aplicando la fórmula de la derivada de un cociente,
Por tanto,
Derivada de la función sec x Sif(x) = 1, f ' (x) = 0
Si g(x) = cos x, g ' (x) = - sen x Por la fórmula de la derivada de un cociente, (sec x)' = sec x · tg x Derivada de la función cosec x
Si f(x) = 1, f ' (x) = 0
Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x
Por la derivada de un cociente, (cosec x)' = - cosec x · cotg x Derivada de la función cotg x Si f(x) =cos x, f ' (x) = - sen x
Si g(x) = sen x, g ' (x) = cos x
Por tanto,
Ejercicio: cálculo de derivadas Resolución: Llamando f(x) = x cos x - 2,
f ' (x) = 1 · cos x + x · (- sen x) = cos x - x sen x
(la derivada de 2 es cero por ser una constante) Si g(x) = x2, g ' (x) = 2 x
Resolución: Si f(x) = x tg x - cos x,
f ' (x) = 1 · tg x + x (1 + tg2x) - (- sen x) = = tg x + x (1 +tg2x) + sen x
A pesar de contar ya con un número estimable de propiedades para el cálculo de derivadas, hay funciones elementales, como , para las que no se conoce ningún procedimiento para la obtención de su derivada. Para seguir avanzando por este camino se hace imprescindible conocer una de las propiedades más fundamentales y útiles de la derivación, aunque no se hará su demostración. Se laconoce como derivada de una función compuesta o regla de la cadena. REGLA DE LA CADENA
Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I, y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f, entonces la función compuesta
definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable entodo punto x de I y se obtiene Ejemplo: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de la función h(x) = sen x2. Resolución: La función sen x2 es una función compuesta de otras dos f(x) = x2 y g(x) = sen x. Al ser g(x) = sen x, g ' (x) = cos x,
por tanto g ' [ f(x) ] = cos f(x) = cos x2 Por la regla de la cadena, h ' (x) = g ' [ f(x) ] · f ' (x) = 2x cos x2
Resolución:
De g(x) = x3, sededuce
g ' (x) = 3x2. En consecuencia,
Por la regla de la cadena,
Regla de la cadena para la función potencial Se sabe que la derivada de una función f(x) = xm es f'(x) = m · xm - 1. Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)m
aplicando la regla de la cadena, será: [u(x)m] ' = m · u(x)m - 1 · u'(x) Para simplificar la notación, y a partir de ahora,se escribirá simplemente u en lugar de u(x). Así, Ejercicio: cálculo de derivadas Calcular la derivada de f(x) = (x2 + 1)3. Resolución: Si u = x2 + 1, u' = 2x En este caso m = 3 f '(x) = 3 (x2 + 1)2 · 2x = 6x (x2 + 1)2
Regla de la cadena para la función logaritmo neperiano Si en la derivada de logaritmo neperiano se sustituye x por una función de x, u(x), en virtud de la regla de la cadena setiene que Ejercicio: cálculo de derivadas
Resolución:
Se calcula u' aplicando la derivada de un cociente:
Se aplica la regla de la cadena:
2.- Hallar la derivada de f(x) = ln |sen x | Resolución:
u = sen x; u' = cos x
Regla de la cadena para las funciones exponenciales Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una
función f(x)...
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