examen 2010

Universidad Carlos III de Madrid
Ejercicio
Puntos

1

2

3

4

5

6

total

Departamento de Econom´
ıa

Examen Final de Matem´ticas I
a
28 de Junio de 2010
Duraci´n del Examen: 2 horas.
o
NOMBRE:
Titulaci´n:
o
Grupo:

APELLIDOS:
DNI:

1. Sea la funci´n g (x) = |x − 1| − 1. Se pide:
o
a) Hallar el dominio, la imagen (o recorrido) y los intervalos decrecimiento/decrecimiento de g .
b) Considera h la funci´n anterior, restringida al intervalo (−∞, 1].
o
Hallar la inversa de h, as´ como el dominio e imagen de dicha funci´n inversa.
ı
o
Sugerencia: considerar previamente la funci´n f (x) = |x| y, a partir de ella, representar g (x), h(x) y
o
h−1 (x).
1 punto

a) La funci´n g (x) puede ser definida a trozos as´
o
ı:
−(x − 1) − 1 = −x si x ≤ 1
g(x) =
; Por lo tanto, la funci´n tiene como dominio
o
(x − 1) − 1 = x − 2 si x ≥ 1
toda la recta real, es decreciente en el intervalo (−∞, 1] y creciente en el intervalo [1, ∞) y, como
cumple g (1) = −1 y tiene l´
ımite ∞ (resp. −∞) en ∞ (resp. −∞), su imagen es el intervalo [−1, ∞).
b) Evidentemente, como g : (−∞, 1] → [−1, ∞) es biyectiva, se deduce que g −1 (x) = −x, su dominio
es [−1,∞) y su imagen es (−∞, 1].
ı:
Las gr´ficas de g y de g −1 son, aproximadamente, as´
a

h

h

-1

1

1

-1

-1

1

2. Sea a un n´ mero real y consideremos la siguiente funci´n definida a trozos:
u
o
⎧
x
⎪
si x < 0
⎪
⎨ 1 + x2
f (x) =
si x = 0
⎪a
⎪
⎩ ln(x2 + 1) si x > 0
a) Estudiar, seg´n los valores de a, la derivabilidad de f (x) en el punto x = 0.
u
b) Estudiarla existencia de as´
ıntotas de la funci´n f (x).
o
1 punto

a) En primer lugar, estudiamos si la funci´n es continua en el punto x = 0.
o
Para ello, observamos que
lim − f (x) = 0, f (0) = a, lim + f (x) = 0, es decir, f continua en x = 0 cuando a = 0.
x−→0

x−→0

Y ahora, suponiendo que f (x) es continua en x = 0, f (x) es derivable en x = 0 cuando
lim − f (x) = lim + f (x), esdecir, como

x−→0

x−→0

1 + x2 − 2x2
= 1; y
x−→0−
x−→0− (1 + x2 )2
2x
lim f (x) = lim 2
= 0;
x−→0+
x−→0+ x + 1
se deduce que f no es derivable en x = 0, para ning´n a.
u
b) Como la funci´n es continua en todos los puntos, no tiene ninguna as´
o
ıntota vertical.
En cuanto a posibles as´
ıntotas en −∞, se deduce que, como
x
= 0,
lim f (x) = lim
x−→−∞
x−→−∞ 1 + x2
luego f(x) tiene una as´
ıntota horizontal (y, por tanto, no oblicua) en ∞.
Y, en cuanto a posibles as´
ıntotas en ∞, se deduce que, como
2
lim f (x) = lim ln(x + 1) = ∞; y
lim f (x) =

x−→∞

lim

x−→∞

f (x)
ln(x2 + 1)
2x
lim
= lim
= ∞ =(L’Hopital)= lim 2
=0
∞
x−→∞
x−→∞ x
x−→∞ x + 1
x
luego f (x) no tiene ni as´
ıntota horizontal ni oblicua en ∞.

1
3. Sea f (x) = 2aex −e2ax , donde 0 = a = 2 . Se pide:
a) Calcular el polinomio de Taylor de orden 2 en el punto x0 = 0.
b) Determinar para que valores de a podemos asegurar que la funci´n f
o
alcance un m´ximo o un m´
a
ınimo local en el punto x0 = 0.

1 punto

a) Como f (x) = 2aex − e2ax , f (0) = 2a − 1.
Como f (x) = 2aex − 2ae2ax , f (0) = 0
Como f ”(x) = 2aeax − 4a2 e2ax , f ”(0) = 2a − 4a2 .
Luego elpolinomio de Taylor de orden 2 en el punto x0 = 0 es P2 (x) = 1 (2a − 4a2 )x2 + 2a − 1.
2
b) La funci´n alcanza un m´
o
ınimo local en el punto x0 = 0 cuando a(1 − 2a) > 0
o, equivalentemente, cuando 0 < a < 1 .
2
An´logamente, la funci´n alcanza un m´ximo local en el punto x0 = 0 cuando
a
o
a
a(1 − 2a) < 0 o, equivalentemente, cuando a < 0 o cuando a > 1 .
2

x
las funciones decoste y demanda, respectivamente,
4. Sean C (x) = C0 +x+0, 01x2 y p (x) = a−
50
de una empresa monopolista. Se pide:
a) Hallar a y C0 para que la producci´n x = 100 minimice el coste medio.
o
o
b) Hallar a y C0 para que la producci´n x = 100 maximice el beneficio.
1 punto

a) Como la funci´n de costes medios es
o

C (x)
x

Co
x
C (x)
x

=

+ 1 + 0 01.x, entonces, para que x =...