Examen balseiro

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Instituto Balseiro

´ SELECCION INSTITUTO BALSEIRO 2005 ´ MATEMATICA

Instituto Balseiro
´ SELECCION INSTITUTO BALSEIRO - 2005 ´ MATEMATICA INSTRUCCIONES Este cuadernillo contiene, adem´s de esta hoja de instrucciones, 4 carillas con 15 problemas de a Matem´tica. Aparte Usted ha recibido una hoja de respuestas. a Cuente las p´ginas y verifique que est´n todas bien impresas. a e Escriba sunombre en la hoja de respuestas y firme al pie. Escriba tambi´n un n´mero de e u tel´fono al cual podamos comunicarle si fue preseleccionado para la entrevista. e El cuadernillo adjunto contiene 15 preguntas que Usted deber´ contestar marcando en la hoja a de respuestas con una cruz (no con un c´ ırculo) aquella letra que indique la alternativa v´lida, de la siguiente forma: a
12. a b c d e

Ustedpuede quedarse con el cuadernillo de preguntas, as´ que le conviene marcar la respuesta ı elegida tambi´n en ´l, para su control. e e Se le asignar´ un punto a cada pregunta contestada correctamente. Se le asignar´ cero punto a a a cada pregunta mal contestada, con m´s de una respuesta o no contestada. Por lo tanto se a recomienda no dejar preguntas sin contestar. Tiene Usted a su disposici´n unahora para terminar el examen. Esto representa 4 minutos o para cada pregunta. Trate de no demorarse demasiado en preguntas que le resulten dif´ ıciles. Conteste en primer lugar las que le resulten m´s f´ciles y deje las otras para el final. a a

¡¡¡ BUENA SUERTE !!!

Instituto Balseiro: Tel´fono: (02944) 44 5163/5131/5192 - FAX: (02944)-445149 e San Carlos de Bariloche - R´ Negro ıo Selecci´n Instituto Balseiro - 2005 o

1

1. Un cuerpo semiesf´rico que ocupa el volumen x2 + y 2 + z 2 ≤ a2 con z ≥ 0, est´ formado por e a un material cuya densidad en cualquier punto es proporcional a la distancia desde el punto al origen (0, 0, 0). El centro de gravedad de este cuerpo se ubica en: a) (0, 0, 2 a) 5
3 d) (0, 0, 15 a) 3 b) (0, 0, 8 a) 3 c) (0, 0, 16 a)

e) ( 1 a, 1 a, 1 a) 5 5 52. El valor del l´ ımite
x−→ π 2

l´ (1 + cos(x))3 sec(x) ım

es: a) 1 d) e3 b) ∞ e) 0 c)
1 3

3. ¿Cu´l de los siguientes pares de vectores son una base de R2 formada por autovectores de la a 1 1 matriz ? 1 −1 a) b) c) d) e) √ 1 2−1 √ 1 2−1 1 −1 1 √ 2 y y y y −1 1 1 √ − 2 y √ 1 2−1 √ −1 2+1 1√ 1− 2

√ 1+ 2 1

4. Si A es una constante real y positiva, la funci´n f (x, y) = x3 + y 3− 3Axy tiene un unico o ´ m´ ınimo local en el punto P . Entonces a) f (P ) = −3A3 d) f (P ) = −1 b) f (P ) = −2A3 e) f (P ) = 0 c) f (P ) = −A3

2

Selecci´n Instituto Balseiro - 2005 o 5. El rango (cantidad m´xima de columnas linealmente independientes) de la matriz a   1 2 3  4 5 6  7 8 9 es: a) 0 d) 3 b) 1 c) 2

e) No se puede calcular con la informaci´n provista. o
√ 2 o 2 [cos(15 )6. El n´mero complejo u a) d)
1−i √ 2−i 1+i √ 2+i

− i sin(15o )] es otra forma de escribir: b) e)
1−i √ 3−i 1−i √ 3+i

c)

1+i √ 2−i

7. Se tira 8 veces un dado no cargado. ¿Cu´l es, aproximadamente, la probabilidad de que el a n´mero 5 aparezca como m´ximo 3 veces a lo largo de estas tiradas? u a a) 0,97 d) 0,03 b) 0,87 e) 0,005 c) 0,53

8. Se define f (x, y) = Se consideran lossiguientes enunciados: I. f es continua en (0, 0).

1 si |y| > x2 ´ y = 0 o 0 en todo otro caso.

II. Todas las derivadas direccionales de f en (0, 0) existen. III. f es diferenciable en (0, 0). ¿Cu´l de las siguientes afirmaciones es correcta?: a a) Los enunciados I, II y III son correctos. b) Los enunciados I y II son correctos pero III es falso. c) Los enunciados I y III son correctos pero IIes falso. d) Los enunciados I y III son falsos pero II es correcto. e) Los enunciados I, II y III son falsos.

Selecci´n Instituto Balseiro - 2005 o 9. Si i = √ −1, el valor de
1234567

3

in es: a) 0 d) 1234567i 10. El siguiente determinante m m m c m c m c vale: a) b) c) d) e) 0 m(c − m)(b − c)(a − b) m4 c3 b2 a m(c − 3m)(b − 2c)(a − b) m(3c − m)(2b − c)(a − b) m m c c b b b a
n=3...
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