Examen De Calculo Ingenieria Industrial

Cálculo Examen Final Primer curso de Ingenieros Industriales 23 de Junio de 2004

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA II UNIVERSIDAD DE SEVILLA

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Problema 1. Dada la curva r = 2 + cos(2θ) con θ ∈ [0, 2π], se pide:

a) [4 puntos] Realizar un esbozo de la curva estudiando (con cálculos incluidos) los siguientes elementos: simetrías respecto de los ejes cartesianos y los puntos donde lastangentes son paralelas a dichos ejes. b) [3 puntos] Hallar de forma aproximada, usando Simpson con cinco puntos, la longitud del arco de curva situado en el primer cuadrante. c) [3 puntos] Calcular el área encerrada por esta curva en el primer cuadrante.

Solución. a) Tenemos la curva dada en polares por la ecuación r(θ) = 2 + cos(2θ) con θ ∈ [0, 2π]. Para realizar un esbozo de la mismaempezaremos estudiando las simetrías respecto de los ejes. Sabemos que la curva es simétrica respecto del eje OX si y sólo si se verifica que r(θ) = r(−θ). En nuestro caso, teniendo en cuenta que la función coseno es una función par, tenemos que r(−θ) = 2 + cos(2(−θ)) = 2 + cos(−2θ) = 2 + cos(2θ) = r(θ), esto es, nuestra función es simétrica respecto del eje OX. También sabemos que la curva es simétricarespecto del eje OY si y sólo si se verifica que r(π − θ) = r(θ). En nuestro caso, teniendo en cuenta que la función coseno es una función par y 2π-periódica, tenemos que r(π − θ) = 2 + cos(2(π − θ)) = 2 + cos(2π − 2θ) = 2 + cos(−2θ) = 2 + cos(2θ) = r(θ), esto es, nuestra función es simétrica respecto del eje OY. Por tanto, para dibujar nuestra curva bastará analizarla con θ variando en el intervalo[0, π/2] y luego extender, haciendo uso de las simetrías, al intervalo [0, 2π]. En segundo lugar, estudiaremos los puntos de la curva cuyas tangentes son horizontales o verticales. Nos restringiremos al primer cuadrante. Sabemos que la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto P de coordenadas polares (r, θ) es m= r0 (θ)sen θ + r(θ) cos θ . r0 (θ) cos θ − r(θ)sen θ y r0 (θ) cos θ −r(θ)sen θ 6= 0.

Los puntos cuyas tangentes son paralelas al eje OX son puntos tales que m = 0, esto es, r0 (θ)sen θ + r(θ) cos θ = 0

Resolvamos la ecuación, teniendo en cuenta las expresiones conocidas para el seno y el coseno del ángulo doble (sen (2θ) = 2sen θ cos(θ), cos(2θ) = cos2 θ−sen2 θ) y que cos2 θ = 1−sen2 θ : 0 = = = = −2sen (2θ)sen θ + (2 + cos(2θ)) cos θ −4sen2 θ cos θ + (2 + cos2θ − sen2 θ) cos θ −5sen2 θ cos θ + 2 cos θ + cos3 θ ¢ ¡ cos θ −5sen2 θ + 2 + cos2 θ = cos θ − 6sen2 θ + 3.

Por tanto,√ θ = 0 (lo que implica que θ = π/2) o −6sen2 θ + 3 = 0 (lo que implica que cos sen θ = 1/ 2, es decir, θ = π/4). Observemos que dichos valores satisfacen también la condición r0 (θ) cos θ−r(θ)sen θ 6= 0. Así, pues, los puntos (1, π/2) y (2, π/4) tienen tangentes horizontales. 2Los puntos cuyas tangentes son paralelas al eje OY son puntos tales que m = ∞, esto es, r0 (θ) cos θ − r(θ)sen θ = 0 0 = = = = y r0 (θ)sen θ + r(θ) cos θ 6= 0. Resolvamos la ecuación, teniendo en cuenta las mismas identidades trigonométricas, −2sen (2θ) cos θ − (2 + cos(2θ))sen θ −4sen θ cos2 θ − (2 + cos2 θ − sen2 θ)sen θ −5sen θ cos2 θ − 2sen θ + sen3 θ ¢ ¡ ¢ ¡ sen θ −5 cos2 θ − 2 + sen2 θ =sen θ −6 cos2 θ − 1 .

Como −6 cos2 θ−1 no se anula nunca, debe tenerse que sen θ = 0 y, por ello, θ = 0. Observemos que dicho valor satisface también la condición r0 (θ)sen θ + r(θ) cos θ 6= 0. Así pues, el punto (3, 0) tiene tangente vertical. Para hacer la gráfica de la curva nos ayudaremos, además de toda la información anterior, de la tabla de valores θ 0 π/4 π/2 r 3 2 1 y del estudio delcomportamiento de r frente a θ : como r0 (θ) = −2sen (2θ) < 0 para θ ∈ [0, π/2] se deduce que los valores de r van decreciendo a medida que θ recorre el intervalo [0, π/2]. Finalmente, la gráfica de la función con θ ∈ [0, π/2] es

y, teniendo en cuenta las simetrías, la gráfica de la función con θ ∈ [0, 2π] es

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b) La longitud del arco de curva situada en el primer cuadrante es Z πp Z πp...