Examen de la onmaps

26 Olimpiada Mexicana de Matemáticas – Entrenamientos Guanajuato 1era parte (introducción). Marco A. Flores Martínez Geometría del círculo

2da parte (manejo de relaciones).

5. Sea ABCD un cuadrilátero, y P el punto de intersección de AB y CD. Demuestra . que ABCD es un cuadrilátero cíclico si y sólo si

1. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia. Un punto M es marcado sobre el arcode la semicircunferencia y un punto K es marcado sobre AB. Una circunferencia con centro P pasa por A, M y K, y otra circunferencia con centro Q pasa por M, K y B. Demuestra que M, K, P y Q son concíclicos. 2. Una línea paralela a la base BC del triángulo ABC corta a AB y a AC en P y Q, respectivamente. La circunferencia que pasa por P y es tangente a AC en Q corta a AB de nuevo en R. Demuestra queR, Q, C, B están en una misma circunferencia. 3. Sean ABC un triángulo y L, M, N los puntos medios de los lados BC, CA y AB respectivamente. Demuestra que ∠LAC= ∠MBA si y sólo si ∠CNA= ∠ALB. 4. Sea P un punto que está fuera de una circunferencia W. Una secante a W que pasa por P intersecta a ésta en A y B. Sea M sobre W tal que PM es tangente a ésta. Demuestra que . 1. Sea AB una cuerda en unacircunferencia, y M su punto medio. Otra cuerda CD en la misma circunferencia pasa por M, y se construye una semicircunferencia con diámetro CD. La perpendicular a CD que pasa por M intersecta a la semicircunferencia en K. Demuestra que AM = KM 2. Sea BD la bisectriz del ángulo B del triángulo ABC. El circuncírculo del triángulo BDC intersecta AB en E y el circuncírculo del triángulo ABD intersectaBC en F. Demuestra que AE=CF 3. Sea ABC un triángulo acutángulo. La altura desde A intersecta a BC en D y al semicírculo construido exteriormente sobre el lado BC en P. La altura desde B intersecta a AC en E y al semicírculo construido exteriormente sobre el lado AC en Q. Demuestra que CP=CQ.

3ra parte (manejo de ángulos).
1. Sean

Las rectas OA y PQ se intersectan en R. Si ∠PBQ = 3∠PCQ,demuestra que AO=AR. 2. Las cuerdas AC y BD en una circunferencia son perpendiculares y se intersectan en G. Sea P un punto sobre BC. La línea PG corta a AD en E. Demuestra que PG⊥AD si y sólo si P es el punto medio de BC. (Teorema de Brahmagupta). 3. Las circunferencias se intersectan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una recta que corta a las circunferencias en los puntos C y D,diametralmente opuesto a B en

P y Q, respectivamente, con B entre C y P y A entre C y Q. Sea O el centro de

dos circunferencias que se intersectan en A y B. Sea C el punto . Las rectas CB y CA cortan de nuevo a

en .

4ta parte (semejanza y potencia de un punto).

2. Las tangentes desde el punto A hacia una circunferencia de centro O la tocan en B y C. Sea E un punto sobre el diámetro BDtal que CE ⊥ BD. Demuestra que BE BO=AB CE. 3. Sea C un punto sobre un semicírculo de diámetro AB y sea D el punto medio del arco AC. Sea E la proyección del punto D sobre la línea BC y sea F la intersección de la línea AE con el semicírculo. Demuestra que BF biseca al segmento DE. 4. Sea ABCD un cuadrilátero convexo inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Las líneas AC y BD se intersectan en Ey las líneas AD y BC en F. La línea EF intersecta al semicírculo en G y a la línea AB en H. Demuestra que E es punto medio del segmento GH si y sólo si G es el punto medio del segmento FH.

1. Sea AB una cuerda de una circunferencia y P un punto sobre ella. Sea Q la proyección de P sobre AB, y R y S las proyecciones de P sobre las tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente.Demuestra que .

respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersectan en el punto M. Demuestra que el cuadrilátero MCBD es cíclico. 4. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en ángulo recto; P y Q son los respectivos pies de las perpendiculares desde D a AB y desde A a BC; X es el punto de intersección de DP con AC, y Y es el...