Examen De Mecanica Cuantica Ula
Páginas: 2 (290 palabras)
Publicado: 23 de septiembre de 2012
1er. Examen Parcial — Sem. A-2004
Mec´nica Cu´ntica a a 1. En una cierta base ortonormal, dos operadores est´n dados por las matrices a 1 −i 0 10 A= i 1 2 0 0 −2
1 3i 0 1 B = −3i 1 0 2 0 0 −2
(a) Encuentre sus autovalores y autovectores (b) Determinesi A y/o B son observables (c) Determine si los siguientes conjuntos {A, B} y {A2 , B} forman un conjunto completo de observables que conmutan y encaso afirmativo de una base com´n de autovecu tores. 8 ptos. 2. Operador Paridad: Sea Π el operador paridad, definido por Π|r >= | − r > Puededemostrarse que, dado un estado |ψ >: < r|Π|ψ >= ψ(−r) =< −r|ψ > (a) Demuestre que esto implica < r|Π =< −r| y de all´ que Π es herm´ ı ıtico. n (b)Encuentre la acci´n de Π , con n entero, sobre los estados |ψ >. o (c) Denotando pΠ los autovalores de Π, calcule Π2 |ψ >, y demuestre que losvalores posibles de pΠ son 1 y -1. (d) Defina los operadores 1+Π 1−Π P+ = P− = 2 2 Demuestre que son herm´ ıticos y que son proyectores. (e) Defina loskets |ψ+ >= P+ |ψ >, |ψ− >= P− |ψ > y demuestre que son autoestados de Π con autovalores 1 y -1. P± son entonces los proyectores sobre losautosubespacios de Π. (f) Demuestre que |ψ+ > y |ψ− > son ortogonales (g) Demuestre que forman una base completa, usando los proyectores. 8 ptos. 3. Seanlas matrices de Pauli σ1 = 0 1 1 0 σ2 = 0 −i i 0 σ3 = 1 0 0 −1
Demuestre que, para todas ellas: eiσθ = cos(θ) + iσ sin(θ) 4 ptos. 1
Mec´nica Cu´ntica a a 1. En una cierta base ortonormal, dos operadores est´n dados por las matrices a 1 −i 0 10 A= i 1 2 0 0 −2
1 3i 0 1 B = −3i 1 0 2 0 0 −2
(a) Encuentre sus autovalores y autovectores (b) Determinesi A y/o B son observables (c) Determine si los siguientes conjuntos {A, B} y {A2 , B} forman un conjunto completo de observables que conmutan y encaso afirmativo de una base com´n de autovecu tores. 8 ptos. 2. Operador Paridad: Sea Π el operador paridad, definido por Π|r >= | − r > Puededemostrarse que, dado un estado |ψ >: < r|Π|ψ >= ψ(−r) =< −r|ψ > (a) Demuestre que esto implica < r|Π =< −r| y de all´ que Π es herm´ ı ıtico. n (b)Encuentre la acci´n de Π , con n entero, sobre los estados |ψ >. o (c) Denotando pΠ los autovalores de Π, calcule Π2 |ψ >, y demuestre que losvalores posibles de pΠ son 1 y -1. (d) Defina los operadores 1+Π 1−Π P+ = P− = 2 2 Demuestre que son herm´ ıticos y que son proyectores. (e) Defina loskets |ψ+ >= P+ |ψ >, |ψ− >= P− |ψ > y demuestre que son autoestados de Π con autovalores 1 y -1. P± son entonces los proyectores sobre losautosubespacios de Π. (f) Demuestre que |ψ+ > y |ψ− > son ortogonales (g) Demuestre que forman una base completa, usando los proyectores. 8 ptos. 3. Seanlas matrices de Pauli σ1 = 0 1 1 0 σ2 = 0 −i i 0 σ3 = 1 0 0 −1
Demuestre que, para todas ellas: eiσθ = cos(θ) + iσ sin(θ) 4 ptos. 1
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