Examen economia

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Micro I Facultad de Economía Universidad Autónoma de N.L.

Examen Parcial
No se permiten anotaciones, resumenes, o cualquier otro material. El exámen durara un total de 90 minutos, ni un minuto mas ni un minuto menos. Por favor, explica detalladamente todas las supociones necesarios, tu logica y argumentos. Las hojas para contestar el exámen te seran proporcionadas y no estan en libertad deusar ningunas otras. Durante el examen no te sera permitido usar ni calculadoras, ni celulares, ni iPods, o nada por el estilo. ¡Buena Suerte! 1. [25 puntos] Considera la función de utilidad u (x1 , x2 ) = 2 ln x1 + ln x2 y su restricción presupuestaria correspondiente p1 x1 + p2 x2 = M a) Dibuja la curva de indiferencia para esta función de utilidad. Solución: Por invariabilidad de ordenación depreferencias a una transformación monótona, es decir, invariabilidad de una función cuasiconcava a una transformación monótona – f (•) = e(•) , u (x1 , x2 ) = ln x2 x2 – podemos reescribir la función de utilidad: 1 u (x1 , x2 ) = x2 x2 1 Supongamos que tenemos un nivel de utilidad optimizado (deseado), u (x1 , x2 ) = u, y supongamos que u = 1, podemos reescribir el nivel ¯ ¯ de demanda del bien 2 enfunción de el nivel de demanda del bien 1 dado un nivel de utilidad deseado: u ¯ 1 x2 (x1 ) = −→ x2 (x1 ) = x1 x1 podemos graficar la curva de indiferencia entre x1 , x2 :
0.8 0.6

0.4

0.2

2

4

6

8

10

b) Deriva la función Lagrangeana asociada con este problema de maximización de utilidad y encuentra las CPOs. Solución: Usando la transformación monótonao de la función deutilidad, elaboramos la Lagrangena: L (x1 , x2 , λ) = x2 x2 − λ (p1 x1 + p2 x2 − M ) 1 1

y encontramos las CPOs – formulamos la Jacobiana L1 L2 Lλ = = = 2x1 x2 − λp1 = 0 x2 − λp2 = 0 1 −p1 x1 − p2 x2 + M = 0

L:

c) Encuentra la Hessiana Orleada para este problema de maximización con restricciones. Muestra las condicones de segundo orden suficientes y verifica que se mantiene. Solución: Una vezque hemos encontramos la Jacobiana J = L = (L1 , L2 , Lλ ) encontramos la Hessiana Orleada que definimos tal que H = 2 L = ( L1 , L2 , Lλ ) tal que     L11 L12 L1λ 2x2 2x1 −p1 0 −p2  H =  L21 L22 L2λ  =  2x1 Lλ1 Lλ2 Lλλ −p1 −p2 0 sabemos que CSO suficientes para garantizar la maximización de la fn de utilidad, dada la Hessiana Orleada, es |H| > 0: 2x2 2x1 −p1 2x1 0 −p2 −p1 −p2 0 >0

d )Resuelve las condiciones de primer orden para encontrar la función de demanda del bien x1 . Verifica si x1 y x2 son sustitutos o complementos. Tambien verifica si es que x1 incrementa o disminuye con el ingreso. (Notese que esto requiere que se tomen las derivadas apropiadas para verificar los distintos efectos sobre la demanda). 1x Solución: Dadas las CPO encontramos que x2 = p2p21 y dada larestricción presupuestaria de la CPO de complementaridad, v.g., p1 x1 + p2 x2 = M encontramos las demandas optimas x1 (p1 , p2 , M ) = 2M 3p1 , x2 (p1 , p2 , M ) = M 3p2

para verificar si es que x1 y x2 son sustitutos ó complementos, ne∂xi cesitamos saber si es que ∂pj 0, y para saber cual es el efecto de un cambio en ingreso de la demanda del bien 1 necesitamos saber ∂x1 0. Para encontrar el cambio delbien 1 c.r.a. el nivel de precio ∂M del bien 2, buscamos la Hessiana Orleada para las CPO c.r.a. p2
2 p2 L

=

∂x1 ∂x2 ∂λ + 2x1 − p1 = 0 ∂p2 ∂p2 ∂p2 ∂x1 ∂x2 ∂λ 2x1 +0 − p2 − λ = 0 ∂p2 ∂p2 ∂p2 ∂x2 ∂x1 −p1 − p2 − x2 − 0 = 0 ∂p2 ∂p2 2x2 2

la cual reescribimos en notación de matriz:     ∂x1   0 2x2 2x1 −p1 ∂p2  2 2   2x1 0 −p2   ∂x2  =  λ  p2 L = ∂p ∂λ x2 −p1 −p2 ∂p
2

y porla regla de Cramer resolvemos 0 λ x2 2x1 −p1 0 −p2 −p2 |H|

∂x1 = ∂p2

dado que por CSO sabemos que |H| > 0, determinamos el efecto de ∆+ p2 en x1 por el signo del denominador tal que 0 0 −p2 −p2 0 − 2x1 λ x2 −p2 0 − p1 λ x2 0 −p2

−2p2 x1 x2 + λp1 p2 = p2 (−2x1 x2 + λp1 ) donde por CPO sabemos que p1 =
2x1 x2 λ

p2 (−2x1 x2 + 2x1 x2 ) = p2 × 0 tal que sabemos p2 > 0, por lo que existe...
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