Examen mate

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DE LA MITAD DE UN AGULO
Sea α un ángulo. Las razones trigonométricas del ángulo mitad (α/2) se pueden expresar en función de las razones trigonométricas de α. En particular, del coseno de α.
Seno del ángulo mitad:


Coseno del ángulo mitad:


Tangente del ángulo mitad:


Ejemplo
Sea un ángulo α=60º. Las razones trigonométricas de su ángulo mitad son:
Seno del ángulomitad (60º/2):


Coseno del ángulo mitad (60º/2):


Tangente del ángulo mitad (60º/2):


Estos resultados corresponden a las razones trigonométricas del ángulo de 30º.
¿Cómo se obtienen?
Seno del ángulo mitad

De las fórmulas conocidas:


Si hacemos β=α/2, se transformarán en:


Restando ambas igualdades obtendremos que:


Por lo que la fórmula del seno del ángulo mitad es:


Coseno del ángulomitad

De las fórmulas conocidas:


Si hacemos β=α/2 (de igual forma que con el seno, se transformarán en:


Sumando ambas igualdades tendremos:


Y se obtiene la fórmula del coseno del ángulo mitad:


Tangente del ángulo suma
La tangente del ángulo mitad es igual al seno dividido por el coseno.


Por lo que la fórmula de la tangente del ángulo mitad es:



IDENTIDADES DE DOBLE ANGULO
Las identidadesde ángulo doble (estas realmente son solo casos especiales de las fórmulas de Bhaskara Acharya, donde u = v )
En las fórmulas de la suma de dos ángulos hacemos a=b o a=b, para obtener:
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena=
=cos2a-sen2a
 
sen(2a)=sen(a+a) = sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
 




Ejemplo:
Reescriba en una forma más simple usando una identidad trigonométrica:2sin(5p)cos(5p)
Usando la fórmula de ángulo doble para el seno, donde

Aplicando la fórmula, obtenemos

IDENTIDADES DE SUMA Y RESTA DE ANGULOS

A continuación demostraremos las identidades trigonométricas para el seno, conseno y tangente de la suma y resta de ángulos (en este orden).

Antes de nada, para poder entender algunas de las demostraciones debemos conocer la fórmula de Moivre. Esta es una fórmula quesirve para expresar un número complejo en forma binómica (partiendo de uno en forma polar por supuesto), y nos será de gran ayuda. Moivre dice que, sea un número complejo en forma polar :


A parte también hay que conocer la identidad fundamental  y otras relaciones básicas. Teniendo todo esto en cuenta podemos proceder con las demostraciones.


Suma de ángulos

 y 

Para demostrar el seno y elcoseno de la suma de dos ángulos harémos uso de los números complejos. Para ello denotamos los dos siguientes:




El producto de dos números complejos en forma polar se define como el producto de sus módulos sub la suma de sus argumentos. Asimismo:



Si expresamos este número complejo en forma binómica mediante la fórmula de Moivre tenemos que:



De la misma forma podemos expresar ambosnúmeros  y  en su forma binómica y hacer dicho producto:




El producto entonces seguiría como:




Nota que . Ahora si simplificamos y separamos parte real de imaginaria tenemos que:



Y, como definimos al principio:




Así que igualando estás dos identidades; la parte real con la real y la imaginaria con la imaginaria tenemos que:





 

Como la tangente de un ángulo se define como el cociente entre elseno y el coseno de ese mismo ángulo, podemos decir que:





Ahora dividimos, tanto el numerador como el denominador, por . Y se nos queda en lo siguiente:







Resta de ángulos

 y 

Para demostrar estas dos identidades sólo tenemos que utilizar las identidades de la suma de ángulos del seno y conseno y veremos como los signos cambian solos:












Para hacer la tangente de la resta de dosángulos hacemos lo mismo que hicimos con el seno y coseno; sustituimos en la ecuación de la suma de ángulos de la tangente:






DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0)...