Examen matematicas

Matem´ticas I; Modelo A; Septiembre 07; Rellene todos los datos que figuran al dorso de la hoja y a
conteste las preguntas marcando A, B, C o D en la casilla correspondiente de las respuestas 1 a 10. Cualquier respuesta con m´s de una marca ser´ INVALIDADA, bien contestada suma 1 punto, mal resta 0,5, en blanco ni a a suma ni resta puntos. La soluci´n debe entregarse en hoja de lectura ´ptica. Sise equivoca NO TACHE, pida otra o o hoja. Duraci´n: 2 horas. No est´ permitido el uso de material did´ctico ni de calculadoras programables. o a a

EJERCICIO 1: La operaci´n λ • x = xλ , definida en R, verifica: o A) λ • (xy) = (λ • x)(λ • y); B) (λ + µ) • x = (λ • x)(µ • x); C) (λµ) • x = λ • (µ • x); D) Ninguna de las anteriores. EJERCICIO 2: Si M es el espacio vectorial generado por lasmatrices A, B y C, cuyas filas son (1, 1) y (1, 0); (1, 0) y (0, 1); (0, 1) y (1, 0), respectivamente, es elemento de M cualquier matriz 2 × 2 que sea: A) Diagonal; B) Sim´trica; C) Con determinate nulo; D) Ninguna de las anteriores. e EJERCICIO 3: Si f (x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + x2 + x3 , x1 + 3x2 + x3 , x1 + x2 + 3x3 ) es un endomorfismo de R3 en la base can´nica, su matriz asociada verifica: A) Escongruente con una matriz diagonal; o B) Es semejante pero no congruente con una matriz diagonal; C) No es diagonalizable; D) Ninguna de las anteriores. EJERCICIO 4: Si A es la matriz de un endomorfismo cuya matriz de Jordan es J, se verifica: A) Si A es diagonalizable no existe J; B) A no es semejante a J; C) A y J tienen los mismos valores propios; D) Ninguna de las anteriores. EJERCICIO 5: La signaturade la forma cuadr´tica Q (x1 , x2 , x3 ) = ax2 + 2ax1 x2 + ax2 + (a − 1)x2 es: a 1 2 3 A) 3 si a > 1 ; B) 1 si a ∈ (−1, 1]; C) 0 si a < −1 ; D) Ninguna de las anteriores. EJERCICIO 6: Dado el conjunto A ⊂ R se˜ale la afirmaci´n correcta: A) Puede tener dos supremos; n o B) Siempre tiene supremo; C) Puede tener supremo y no tener ´ ınfimo; D) Si tiene supremo tiene ´ ınfimo. 1 EJERCICIO 7: Se˜ale elvalor de l´ sen x : n ım x→0 e de las anteriores. A) El l´ ımite no existe; B) 1; C) 0; D) Ninguna

EJERCICIO 8: Se˜ale el punto en el que la recta tangente a la gr´fica de la funci´n f (x) = ln x forma n a o π un ´ngulo de radianes con el eje x (medido desde el eje a la recta en el sentido contrario al de las agujas a 4 del reloj): A) (e, 1); B) (1, 0); C) (0, 1); D) Ninguno de los anteriores. πEJERCICIO 9: Se˜ale el ´rea comprendida entre la gr´fica de tg x; las rectas x = 0, x = ; y el eje x: n a a 6 √ ln 2 ln 3 2 A) ; B) ; C) ln( √ ); D) Ninguna de las anteriores. 2 2 3
∞

EJERCICIO 10: Dada la serie
n=1

πnxn−1 , se˜ale la opci´n correcta: A) La serie es convergente para n o C) La serie converge en el intervalo

todo valor de x; B) La serie no converge para ning´n valor de x;u (−1, 1); D) Ninguna de las anteriores.

Soluciones examen septiembre 2007 modelo A EJERCICIO 1 La opci´n D es cierta. o ´ En el ejercicio 7 del cap´ ıtulo 1-1 de “Ejercicios resueltos de Algebra Lineal B´sica” est´ desarrollado dea a talladamente el procedimiento a seguir. EJERCICIO 2 La opci´n B es cierta. o Las matrices A, B y C generan α 1 1 1 0 +β 1 0 0 1 +γ 0 1 1 0 = α+β α+γ α+γ β ,que, en general, no son matrices diagonales ni de determinante nulo. EJERCICIO 3 S´lo es cierta la opci´n A. o o Por ser sim´trica la matriz del endomorfismo es diagonalizable ortogonalmente, y por tanto, es semejante e y congruente. V´ase cap´ e ıtulo 3-4 de “Fundamentos de matem´ticas: Matem´ticas -I”. a a EJERCICIO 4 La opci´n C es cierta. o J es la matriz diagonal si A es diagonalizable. A essemejante a J y, por tanto, tienen los mismos valores propios. V´ase cap´ e ıtulo 3-5 de “Fundamentos de matem´ticas: Matem´ticas -I”. a a EJERCICIO 5 La opci´n C es cierta. o ´ V´anse los ejercicios 11 a 13 del cap´ e ıtulo 7-2 de “Ejercicios resueltos de Algebra Lineal B´sica”. a EJERCICIO 6: C). El supremo y el ´ ınfimo, de existir, son unicos. Los conjuntos (1, ∞) y (−∞, 1) ´ sirven para...