Existencia Y Unicidad

Introducción

Ecuaciones lineales

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Ecuaciones lineales

Índice

1

Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n
2

Introducción Definiciones generales

Ecuaciones lineales Teorema de existencia y unicidad de soluciones Conjunto de soluciones de la ecuación homogénea Conjunto de soluciones de la ecuación no homogénea Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientesconstantes Ecuación de Euler

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Ecuaciones lineales

Definiciones generales
Forma general del ecuación de orden n: y(n = f (x, y, y′ , . . . , y(n−1 )
1

Introducción Definiciones generales

Equivalencia con sistema de orden 1. Definimos y = y1 = y2 = y3 . . . = yn = f (x, y1 , . . . , yn )

2

Ecuaciones lineales Teorema deexistencia y unicidad de soluciones Conjunto de soluciones de la ecuación homogénea Conjunto de soluciones de la ecuación no homogénea Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes Ecuación de Euler

y = y =
′′

′

y′ 1 y′ 2

yn−1) = y′ n−1 y =
n)

y′ n

Y obtenemos el sistema equivalente de ecuaciones diferenciales ordinarias: Y ′ = F(x, Y) con Y = (y1 , y2 , . . . , yn ), y F∈ Ck (Rn+1 , Rn )

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Ecuaciones lineales

1

Introducción Definiciones generales

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden n: y(n + p1 (x)y(n−1 + p2 (x)y(n−2 + . . . + pn−1 (x)y′ + pn (x)y = q(x) Definición Una EDO lineal es homogénea si q(x) = 0. En caso de que q(x) = 0 la ecuación se llama no homogéneao completa Operador diferencial: L[y] = q(x), dn−1 d dn donde L := dxn + p1 (x) dxn−1 + . . . + pn−1 (x) dx + pn (x) Es lineal porque L[αy1 + βy2 ] = αL[y1 ] + βL[y2 ]

2

Ecuaciones lineales Teorema de existencia y unicidad de soluciones Conjunto de soluciones de la ecuación homogénea Conjunto de soluciones de la ecuación no homogénea Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientesconstantes Ecuación de Euler

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Teorema de existencia y unicidad de soluciones
Problema de valor inicial (PVI) Y′ = F(x, Y)

Existencia y unicidad de soluciones (cont.)

Y(x0 ) = Y0 Teorema: si F ∈ C(Rm+1 , Rm ) y ∃ En el caso lineal
F1 (x, Y) 6 F2 (x, Y) 6 6 . . 6 . 6 4 F n−1 (x, Y) Fn (x, Y) 2 F(x, Y) = 3 7 6 7 6 7 6 7=67 6 5 4 2 y2 y3 . . . yn −p1 (x)yn − p2 (x)yn−1 − . . . − pn−1 (x)y2 − pn (x)y1 + q(x) 3 7 7 7 7 7 5
∂F ∂Y

Teorema Sea la EDO lineal de orden n, L[y] = q(x), x ∈ [a, b]. Si las funciones pi (x), i = 1, . . . , n, q(x) son todas continuas en [a, b], entonces existe una única solución de la EDO que satisface las n condiciones iniciales y(x0 ) = y1 (x0 ) = y1,0 , y′ (x0 ) = y2 (x0 ) = y2,0 , y′′(x0 ) = y2 (x0 ) = y2,0 , . . . , yn−1) (x0 ) = yn (x0 ) = yn,0

acotada ⇒ ∃! solución

y las derivadas parciales son ∂Fi ∂yj = 0, si i + 1 = j; y ∂Fi ∂yi+1 = 1, para 1 ≤ i ≤ n − 1 ∂Fn ∂yj = −pn−j+1 (x), para 1 ≤ j ≤ n Por lo tanto, si pi (x) para 1 ≤ i ≤ n son continuas, la existencia y unicidad de solución para el PVI está garantizada

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IntroducciónEcuaciones lineales

Conjunto de soluciones

Dependencia e independencia lineal de funciones

Recordatorio Definición El conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea L[y] = 0 es un espacio vectorial: y(x) = 0 es solución (L[0] = 0) Si y1 (x) e y2 (x) son soluciones (L[y1 (x)] = L[y2 (x)] = 0), también lo es α1 y1 (x) + α2 y2 (x). En efecto L[α1 y1 (x) + α2 y2 (x)] = α1 L[y1 (x)] +α2 L[y2 (x)] = 0 Sean las funciones y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x) con x ∈ (a, b); sean las constantes ai , i = 1, . . . n. Se dice que las funciones y1 , y2 , . . . , yn son linealmente independientes en (a,b) si α1 y1 (x)+α2 y2 (x)+. . .+α1 y1 (x) = 0, ∀x ∈ (a, b) ⇒ α1 = α2 = . . . = αn = 0 Entonces dicho sistema de funciones se denomina sistema libre En caso contrario, se dice que las...