Experiencias biológicas aplicada a una recta

APLICACIONES DE LA DERIVADA

A ) RECTA TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA

01 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x), en indican : a)

el punto P( a , b ) que se en P( 2 , 2 ) ( c ) Trace

f ( x)  x 

x 2 4

2

en P( 0 , -2 )

( b ) f ( x)  2

x 1

la gráfica en cada caso.

02 Dadas la función y = f(x) y el punto x = a de su dominio. Hallar laecuación de la tangente y la normal a la curva en el punto dado. a)

f ( x) 

x 3  2 x  4 en x = 3 ( b ) Si x = 1 y

f ( x)  x 3  5 x 2  x  1 .
03 Dados la curva y = f ( x ) y una recta cualesquiera, y = mx + b .Determine el punto P( x0 , y0 ) de la curva por donde pasa una tangente paralela a la recta dada. a ) f ( x)  4  x , la recta
2

y = 4 -

3 x. (b) 2

f ( x)  x

3

 x 5 2
4

; y=

7 35 . x 2 2

B ) GRAFICA DE FUNCIONES

04 En las funciones siguientes. Determinar : a) El o los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. ( b) Los puntos de extremos. ( c ) Los valores máximos y lo valores mínimos, según el criterio de la primera derivada. ( d ) Los intervalos donde la función es cóncava y donde es convexa. ( e ) Los puntos deinflexión . ( f ) La gráfica de la función.

1)

f ( x)  3 x 2  3 x
4x 2 f ( x)  x2

(2)

f ( x)  2 x 3  3x 2  36 x  5 f ( x)  7 x  8 x  2 x
4 3 2

(3)

f ( x)  e Senx

4)

(5)

(6)

f ( x)  xe

1  x2 8

05 Dada las funciones y un conveniente intervalo de su dominio, determinar ( a ) El intervalos donde la función es creciente y donde decreciente. ( b ) Losvalores máximos y valores mínimos relativos y absolutos. ( c ) Esboce la gráfica de la función dentro del intervalo dado.

1 ) f ( x)  x 3 ) g ( x) 

3

 5x  4

en

  3;  1 

( 2 ) f ( x)  x  8x  16
4 2

en

 0.3 ; 4.2 

x x 2
x

en

  1; 2 
0 ; 5 
  

(4)

h( x)  x 2  a  x 

2

en  2 ; 2 

5 ) g ( x)  2 e  e

x

en

(6)

   t ( x)  Cos x  Sen x en  ;   2 2

7 ) w( x)  Sen x Cos x en  ;   2 2
2

(8)

s( x)  Ln x  Arctg x en

 1 ; 1 

C ) PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MINIMOS 06 Un hombre desea cercar un campo y luego dividirlo en cuatro parcelas iguales colocando tres cercas paralelas en uno de los lados. Si solamente puede utilizar 2,000 m de alambre ¿ que dimensiones del campo le dará elárea máxima ?. 07 Hallar la altura de un cilindro recto de volumen máximo inscrito en una esfera de radio R. 08 La eficiencia respecto al combustible ( en millas por galón ) de cierto automóvil conducido a una velocidad v ( en millas por hora ) tiene el siguiente modelo ;

M (v ) 

300 v v  2000
2

Determinar el valor de v que maximiza la eficiencia de este automóvil respecto alcombustible.

09 Una caja rectangular tiene una base cuadrada y no tiene tapa. El área combinada de los lados y el fondo es de 48 pies cuadrados. Hallar las dimensiones de una caja de máximo volumen que cumpla estos requerimientos. 10 La población de mosquitos en cierta zona, durante el mes de de agosto, se expresa por ;

P( x)  100  30 x 

7 2 x  x3 ; 2

0 x8

donde x es el número depulgadas de lluvia

en ese mes . Determinar el intervalo de valores de precipitación pluvial donde la población es creciente y donde es decreciente. Halle la cantidad de lluvia para la cual la población de mosquitos es máxima. 11 Supuesto que t meses después de que empieza una epidemia de gripe , la fracción f( t ) de la población que ha contraído el virus se modela por :

f (t ) 

 1  t 3t

.Determinar la porción máxima de la población que será infectada por el virus.

12 Investigadores de la fauna silvestre introducen en una isla cierta especie de faisan a un coto de caza. Se da tres años a la población para permitir la caza ilimitada. Suponga que la población de faisanes (en cientos ) en el tiempo t ( en años ) se modela por ;

t 12
P( t ) =

3

si 0  t ...