Exponentes

Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
* En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
* En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"
Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leerque 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
Puedes multiplicar cualquier número por sí mismo tantas veces como quieras con esta notación.
Así que, en general:
an te dice que multipliques a por sí mismo,
y hay n de esos a's: |   | |
 
Exponentes negativos
¿Negativos? ¿Qué es lo contrario de multiplicar? ¡Dividir! Un exponente negativo significa cuántas veces se divide entre el número.
Ejemplo: 8-1 = 1 ÷ 8= 0.125
O varias divisiones:
Ejemplo: 5-3 = 1 ÷ 5 ÷ 5 ÷ 5 = 0.008
Pero esto lo podemos hacer más fácilmente:
5-3 también se podría calcular así:
1 ÷ (5 × 5 × 5) = 1/53 = 1/125 = 0.008
| Este último ejemplo nos muestra una manera más fácil de manejar exponentes negativos: * Calcula la potencia positiva (an) * Después cacula el recíproco (o sea 1/an) |
Más ejemplos:
Exponentenegativo |   | Recíproco del exponente positivo |   | Respuesta |
4-2 | = | 1 / 42 | = | 1/16 = 0.0625 |
10-3 | = | 1 / 103 | = | 1/1,000 = 0.001 |

Leyes de los exponentes
Los exponentes también se llaman potencias o índices
| El exponente de un número dice cuántas veces se multiplica el número.En este ejemplo: 82 = 8 × 8 = 64 * En palabras: 82 se puede leer "8 a la segundapotencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado" |

Todo lo que necesitas saber...
Todas las "Leyes de los Exponentes" (o también "reglas de los exponentes") vienen de tres ideas:
| El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces |
  |   |
| Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir |
  |   |
| Unexponente fraccionario como 1/n quiere decir hacer la raíz n-ésima: | |
|

Si entiendes esto, ¡entonces entiendes todos los exponentes!
Y todas las reglas que siguen se basan en esas ideas.
Leyes de los exponentes
Aquí están las leyes (las explicaciones están después):
Ley | Ejemplo |
x1 = x | 61 = 6 |
x0 = 1 | 70 = 1 |
x-1 = 1/x | 4-1 = 1/4 |
| |
xmxn = xm+n | x2x3 = x2+3 = x5|
xm/xn = xm-n | x4/x2 = x4-2 = x2 |
(xm)n = xmn | (x2)3 = x2×3 = x6 |
(xy)n = xnyn | (xy)3 = x3y3 |
(x/y)n = xn/yn | (x/y)2 = x2 / y2 |
x-n = 1/xn | x-3 = 1/x3 |
| |
| |
Explicaciones de las leyes
Las tres primeras leyes (x1 = x, x0 = 1 y x-1 = 1/x) son sólo parte de la sucesión natural de exponentes. Mira este ejemplo:
Ejemplo: potencias de 5 |
  | ... etc... |   | |52 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
51 | 1 × 5 | 5 | |
50 | 1 | 1 | |
5-1 | 1 ÷ 5 | 0.2 | |
5-2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0.04 | |
  | ... etc... |   | |
verás que los exponentes positivos, cero y negativos son en realidad parte de un mismo patrón, es decir 5 veces más grande (o pequeño) cuando el exponente crece (o disminuye).
La ley que dice que xmxn = xm+n
En xmxn, ¿cuántas veces multiplicas "x"?Respuesta: primero "m" veces, despuésotras "n" veces, en total "m+n" veces.
Ejemplo: x2x3 = (xx) × (xxx) = xxxxx = x5
Así que x2x3 = x(2+3) = x5
La ley que dice que xm/xn = xm-n
Como en el ejemplo anterior, ¿cuántas veces multiplicas "x"? Respuesta: "m" veces, después reduce eso "n" veces (porque estás dividiendo), en total "m-n" veces.
Ejemplo: x4-2 = x4/x2 = (xxxx) / (xx) = xx = x2
(Recuerdaque x/x = 1, así que cada vez que hay una x "sobre la línea" y una "bajo la línea" puedes cancelarlas.)
Esta ley también te muestra por qué x0=1 :
Ejemplo: x2/x2 = x2-2 = x0 =1
La ley que dice que (xm)n = xmn
Primero multiplicas x "m" veces. Después tienes que hacer eso "n" veces, en total m×n veces.
Ejemplo: (x3)4 = (xxx)4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x12
Así que (x3)4 = x3×4 =...