Extremos Relativos

Páginas: 21 (5087 palabras) Publicado: 15 de noviembre de 2012
EXTREMOS RELATIVOS
Naturaleza creciente y decreciente de una función
Analizaremos primero la gráfica de la función y = f(x) de la figura. Note que conforme x aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I1, entre a y b, los valores de f(x) también aumentan y a curva asciende.
Esta observación significa que si x1 y x2 son dos puntos cualesquiera en I1, tales que x1 < x2, entoncesf(x1) < f(x2). Se dice que f es una función creciente en I1. Por otra parte, conforme x aumenta en el intervalo I2, entre c y d, la curva desciende. En este intervalo, x3 < x4 implica que f(x3) > f(x4) y se dice que f es una función decreciente en I2.

Resumimos estas observaciones en la siguiente definición.

Definición
Se dice que una función es creciente en el intervalo I, sipara dos números cualesquiera x1, x2 en I, donde x1 < x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Una función f es decreciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera en donde x1, x2 en, donde x1 < x2, entonces f(x1) > f(x2).

* Regla 1 para determinar cuando una función es creciente o decreciente

Criterios para funciones crecientes o decrecientes
Sea f diferenciable en elintervalo (a,b). Si f ´(x) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es crecientes en (a,b). Si f ´(x) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en (a,b).
Para ilustrar estas ideas, usaremos la regla 1 para determinar os intervalos en que y = 18x - 23 x3 es creciente o decreciente. Sea y = f(x), debemos determinar cuándo f ´(x) es positiva y cuándo es negativa
f ´ (x) = 18 – 2x2 = 2(9 –x2) = 2(3 + x)(3 – x).
Determinar intervalos por las raíces de f ´(x) = 0
2(3 + x)(3 – x) = 0, esto es 3 y -3.

En cada intervalo, el signo de f ´(x) está determinado por los signos de sus factores:
Si x < -3, entonces f ´(x) = 2(-)(+) = - , por lo que f es decreciente;
Si -3 < x < 3, entonces f ´(x)= 2(+)(+) = +, por lo que f es creciente;
Si x > 3, entonces f ´(x)= 2(+)(-)= - , por lo que f es decreciente.

Así f es decreciente en (-∞, -3) y (3,∞) y es creciente en (-3, 3). Esto corresponde a la elevación y caída de la gráfica de f. Estos resultados podrían afinarse notando que, por definición, f es decreciente en (-∞, -3] y [3, ∞), y creciente en [-3, 3]. Sin embargo, para nuestros fines los intervalos abiertos son suficientes.

x = x1 y x = x3,respectivamente. De manera similar, cuando x= x2, tiene un valor mínimo relativo de f(x2). Cuando aludamos a un máximo o un mínimo relativ, se entenderá que nos referimos a un punto o a un valor, dependiendo del contexto.
Observamos en la gráfica que hay un máximo absoluto (punto más alto en toda la curva) en x = x1, pero no hay un mínimo absoluto (punto más bajoen toda la curva) porque se supone que la curvase prolonga de manera indefinida hacia abajo.

Definición
Una función f tiene un máximo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual f(x0) ≥ f(x) para toda x en el intervalo. El máimo relativo es f(x0). Una función tiene un mínimo relativo en x , si existe un intervalo abierto que contenga a = x0 sobre el el cual f(x0) ≤ f(x), para toda x en elintervalo. El mínimo relativo es f(x0).

Definición
Una función f tiene un máximo absoluto en x = x0, si f(x0) ≥ f(x) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f(x0). Una función f tiene un mínimo absoluto en x = x0, si f(x0) ≤ f(x), para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f(x0).

Cuando aludamos a un máximo o un mínimo relativo lo llamaremosa cada uno extremo relativo.De manera análoga, nos referimos a extremos absolutos.
Al tratar con extremos relativos, comparamos el valor de la función en un punto, con el valor en puntos cercanos; sin embargo, al tratar con extremos absolutos, comparamos el valor de la función en un punto con todos los otros valores determinados por el dominio. Así, los extremos relativos son “locales” por naturaleza, mientras que los...
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