Exámen Econometria2- 3º A.D.E (Ua)

EXAMEN DE ECONOMETRÍA II 4 de octubre de 2011 - Duración: 2 horas y 45 minutos APELLIDOS: .................................................................NOMBRE:..................... Notas: Considere válidas las aproximaciones asintóticas. En todos los contrastes tome como nivel de significación el 5 %. La tabla estadística (página 3) le ofrece valores críticos. 1. (2.40 puntos) Sean X e Y dosvariables aleatorias. Se obtiene una muestra aleatoria simple {xt , yt }T ; por tanto, las observaciones son iid. Se sabe que V ar (X) > 0 t=1 y que las variables X e Y verifican la relación yt = β1 + β2 xt + ut t = 1, ..., T

que satisface los supuestos básicos del modelo de regresión lineal con observaciones iid. a) Demuestre que el parámetro β2 está dado por β2 = Recuerde que si la matriz A =
1ad−bc

Cov(X,Y ) V ar(X) :

(0.80 puntos)

a c

b d

es invertible, su inversa será A−1 =

d −b −c a

.

b) Sabiendo que

σ −→ N 0, V ar(X) , derive la distribución asinˆ tótica del estimador de MCO de β1 : β1 = y − β2 x. (0.75 puntos) ¯ ˆ ¯

√

ˆ T β2 − β2

d

2

c) Suponga que se estima el modelo anterior sin la variable xt , es decir, yt = β1 + vt . ¿Bajo quécondiciones el estimador de MCO de β1 en esta ecuación será consistente?. (0.85 puntos) Solución: a) Sabemos que β = [E (Xt Xt )]−1 E (Xt Yt ) . En este caso se tiene que Xt = 1 , Yt = yt y, por tanto, xt
β= = E (1) E (xt ) E (xt ) E x2 t β1 β2 =
−1

E (yt ) E (xt yt )
2

=

1 E (x2 ) t − [E (xt )]
2

E x2 −E (xt ) t −E (xt ) 1

E (yt ) E (xt yt )

1 E (x2 ) − [E (xt )] t

E x2 E (yt )− E (xt ) E (xt yt ) t −E (xt ) E (yt ) + E (xt yt )

Por tanto, es fácil comprobar que
β2 = E (xt yt ) − E (xt ) E (yt ) E (x2 ) t − [E (xt )]
2

=

Cov (X, Y ) V ar (X)

1

ˆ b) Desarrollando la expresión β1 = y − β2 x, se tiene ¯ ˆ ¯
1 ˆ β 1 = y − β2 x = ¯ ˆ ¯ T = β1 + β2 1 T ˆ ¯ (β1 + β2 xt + ut ) − β2 x
t

xt +
t

1 T

ˆ ¯ ˆ ¯ ¯ ut − β2 x = β1 + β2 − β2 x + u
t

Portanto, se puede re-escribir como
√ ˆ T β1 − β1 = √ ˆ ¯ T β2 − β2 x + √ Tu ¯

√ d ¯ Aplicando el Teorema Central del Límite sabemos que T u−→N 0, σ 2 , por los supuestos (a) E (ut |Xt ) = 0 y (b) V ar (ut |Xt ) = σ 2 del modelo de regresión lineal con observaciones iid. Además por la LGN sabemos que √ p σ2 ˆ ¯ d x−→E (X) y aplicando el TFC: T β2 − β2 x−→N 0, V ar(X) [E (X)]2 . ¯ Luego,
√
d ˆ Tβ1 − β1 −→N

0,

σ2 2 [E (X)] + σ 2 V ar (X)

(obviamente el término de la varianza se puede simplificar/reexpresar de varias formas). c) El estimador de MCO en el modelo sin constante será
−1

˜ β1 =
t

12
t

yt =

1 T

(β1 + β2 xt + ut ) = β1 + β2
t

1 T

xt +
t

1 T

ut
t

Aplicando la Ley de los Grandes Números (LGN) y el Teorema de la Función Continua (TFC) setiene ˜ p β1 → β1 + β2 E (xt ) + E (ut ) El último término es cero usando la Ley de las Esperanzas Iteradas (LEI) y el supuesto (a): E (ut ) = E (E (ut |xt )) = 0. Luego será consistente si E (xt ) = 0 y/o β2 = 0 2. (2.50 puntos) Considere el siguiente modelo yt = β1 + β2 xt + β3 x2 + ut t (1)

La ecuación (1) satisface todos los supuestos del modelo de regresión lineal con observaciones iid,excepto, quizás, el de homocedasticidad. Se dispone de una muestra de 120 observaciones; las tablas adjuntas muestran resultados de diversas estimaciones relacionadas con esta ecuación. a) Contraste de todas las maneras posibles que el modelo (1) es homocedástico. Explique cuidadosamente sus respuestas. (0.60 puntos) b) Explique qué estimador se muestra en la Tabla 6 y cómo se ha procedido paraobtenerlo. (0.50 puntos) 2

c) Explique detalladamente (incluyendo la regresión auxiliar) cómo se realiza el contraste de heterocedasticidad mostrado en la Tabla 6. (0.70 puntos) d ) Contraste que el efecto marginal de xt sobre yt no depende de xt . (0.70 puntos) Solución: a) Se puede hacer un contraste de Breusch-Pagan utilizando los resultados de la Tabla 4, es decir, homocedasticidad frente a...