Fórmula de la ecuación segundo grado

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¿De dónde sale la fórmula para resolver ecuaciones polinómicas de segundo grado?
Todo el que haya llegado hasta Educación Secundaria ha resuelto ecuaciones polinómicasde segundo grado. Por tanto todo el mundo conoce la famosa fórmula que se utiliza para determinar cuántas soluciones tiene una ecuación concreta:

Las posibilidades son 0, 1 ó 2 y es la fórmula laque nos acaba diciendo cuántas hay y cuáles son en el caso de que existan.
La pregunta es: ¿todo el mundo sabe de dónde sale esta fórmula? Probablemente a todos nos lo hayan dicho en su momento perotengo comprobado que mucha gente acaba por memorizar la fórmula sin más y olvida de dónde sale. Aunque la cosa no tiene demasiado misterio creo que merece la pena dedicarle un post para que todosrecordemos este tema. Ahí va:
Partimos de la ecuación polinómica siguiente:

donde se supone para que la ecuación sea de verdad de segundo grado.
Lo que vamos a hacer ahora es reescribirla como unbinomio al cuadrado más unas ciertas constantes, digamos . Como sabemos que tenemos que:
1. El término del binomio que nos proporcionará (supongamos que es ) debe ser . Por tanto .
2. El términodebe salir del doble producto . Como tenemos que . Despejando obtenemos que .
3. Al realizar el cuadrado de ese binomio nos queda que , constante que antes no teníamos. Por tanto tendremos querestarla. Además debe seguir estando. Por tanto .
Vamos, que la cosa queda como sigue:

Pasamos las constantes al otro lado:

Hacemos raíz cuadrada a ambos lados (en este paso es donde aparece el$Latex \pm$):

Operamos dentro de la raíz del segundo miembro:

Pasamos la constante de la izquierda al otro lado y sacamos de la raíz:

Dividimos ambos miembros por (lo que comúnmente se diría...