Factor integrante

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Ecuación Lineal de 1er Orden con factor Integrante.

[pic]…………ED1

Se presentan dos casos

Caso 1 Si [pic]

Entonces en la ED1 nos queda

[pic]…………ED2

Resolviendo[pic]

[pic]

[pic]

Nota: Mientras que no se anule [pic]

Caso 2 Si [pic]

Del primer miembro de la ED1

[pic]

Nos queda;

[pic] = [pic]Entonces los dos términos del primer miembro forman una derivada de producto.

[pic] = [pic]

Quedando la ecuación diferencial.

[pic]…………ED3

Resolviendo y separando variables, e integrando ambosmiembros nos da:

[pic]

[pic]

[pic] Forma estándar

Nota: En raras ocasiones se puede obtener la ED en la forma 2.

Ahora para obtener la forma de la ED3

Realizamos elsiguiente proceso:

Multiplicamos la ED1 por una función [pic] Bien elegida, a esto se la llama Factor Integrante para la ED1.

Y consiste en dividir primero la ED1 [pic] entre [pic]

Escribiéndolaen la forma estándar

[pic]…………4

En donde: [pic] [pic]

Ahora para determinar el Factor Integrante [pic]

Multiplicamos [pic]en la ED4

[pic]…………5

Y que esprecisamente la derivada de producto en el primer miembro

[pic]

De donde [pic]…………6

[pic]

Lo anterior debe satisfacer

[pic]

Esta es una ecuación diferencial separable que se escribe como[pic]

Resolviendo

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]…………7

Entonces concluimos que

[pic]

Tiene como solución:

[pic]

METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

I.- Escribela ecuación lineal en la forma estándar.

[pic]

II.- Identifique a partir de la forma estándar [pic] y calcule el factor integrante.

[pic]

III.- Multiplique la forma estándar por el factorintegrante, recordando que el lado izquierdo de la ecuación es precisamente la derivada de producto con el factor integrante por “y”.

[pic]

[pic]

IV.- Integre ambos lados de la ecuación y...
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