Factores cuadraticos distintos

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FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS
Descomponer 3x³-x²+4xx2+1(x2-x+1) en sus fracciones parciales simples.
Ya que ambos factores del denominador de la fracción dada sonirreducibles (en el campo de los números reales), podemos escribir la siguiente identidad:
(1)3x³-x²+4xx2+1(x2-x+1) ≡ Ax+Bx²+1 + Cx+Dx²-x+1.
Eliminando las fracciones de (1), obtener la identidad:
(2) 3x³-x²+4x ≡ Ax+Bx2-x+1+(Cx+D)(x2+1)
Como antes, existen dos métodos para determinar las constantes A, B, C y D.
METODO 1:
En este método, en la identidad (2) sustituimos x por cuatro valoressencillos diferentes. Esto nos da cuatro relaciones independientes que contienen las constantes. Así:
Para x=0, 0=B+D
Para x=1, 6=(A+B)(1)+(C+D)(2)
o sea :A+B+2C+2D=6.
Para x=-1,-8=A+B3+-C+D2,
o sea: 3A-3B+2C=8
Para x=2, 24-4+8=2A+B3+2C+D5,
o sea: 6A+3B+10C+5D=28Se resuelve el sistema de ecuaciones y se ve que los valores encontrados son: A=1, B=-1, C=2, D=1. Por tanto, la descomposición en fracciones parciales es:3x³-x²+4xx2+1(x2-x+1) ≡ x-1x²+1+2x+1x²-x+1.
METODO 2:
Se efectúan las operaciones en el segundo miembro de (2), tenemos:
3x³-x²+4x ≡Ax³-A-Bx²+A-Bx+B+Cx³+Dx²+Cx+D,
o sea:3x3-x2+4x≡A+Cx3-A-B-Dx2+A-B+Cx+B+D.
Igualando los coeficientes de las potencias correspondientes de x, obtenemos el sistema:
A+C=3,
A-B-D=1,
A-B+C=4,
B+D=0

Cuyasolución es A=1, B=-1, C=2, D=1, que es el mismo resultado que el método 1.
EJERCICIOS:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
3x²-4x+5x-1(x2+1)
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