Factorización lu

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Factorizacin LU.
En el lgebra lineal, la factorizacin o descomposicin LU es una forma de factorizacin de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. A veces se debepremultiplicar la matriz a descomponer por una matriz de permutacin. Esta descomposicin se usa en el anlisis numrico para resolver sistemas de ecuaciones (ms eficientemente) o encontrar las matricesinversas.
A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposicin podra no ser nica)

donde L y U son matrices inferiores y superiores triangulares.
Para matrices , esto es:

Ladescomposicin PLU tiene esta forma: o tambin: PA = LU (recordando que las matrices de permutacin matriz permutacin son invertibles y su inversa es su traspuesta)
Donde L y U son, de nuevo, dos matricestriangulares inferior y superior respectivamente y P es una matriz de permutacin.
Las matrices L y U son nicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no ser nicas.
Demostracin:
Dada lamatriz A ? Rmxn

A = L1U1 y A = L2U2
Recordemos que L1, U1, L2, U2 son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:
L1U1 = L2U2

Entonces es una matriz triangular inferior,con unos en la diagonal y es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La nica matrizque cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:
y
Con lo cual:
L1 = L2 y U1 = U2
Resolviendo sistemas de lgebra lineal.
Dada la ecuacin matricial
Ax = LUx = b
Queremos lasolucin para un determinando A y b. Los pasos son los siguientes:
1.Primero, resolvemos Ly = b para y
2.Segundo, resolvemos Ux = y para x.
Ntese que ya tenemos las matrices L y U. La ventaja de estemtodo es que es computacionalmente eficiente, porque podemos elegir el vector b que nos parezca y no tenemos que volver a hacer la eliminacin de Gauss cada vez.

Matriz Inversa.
Las matrices L y U...
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