factorizacion lu acetatos

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

Factorización LU
El método de descomposición LU se utiliza para resolver ciertos sistemas de ecuaciones
lineales.Consiste en escribir la matriz de coeficientes como el producto de una matriz
triangular inferior L y una matriz triangular superior U.
Definición
Sea A una matriz que se puede factorizar de la formaA=LU, donde L es una matriz
triangular inferior y U una matriz triangular superior. A esta factorización se le llama una
descomposición LU de A.

Ejemplo 1
Encuentre la factorización LU de A.
⎡ 4 −2 1 ⎤
A= ⎢⎢ 20 − 7 12⎥⎥
⎢⎣− 8 13 17⎥⎦
⎡ 4 − 2 1 ⎤ A1, 2(−5 ) ⎡4 − 2 1 ⎤
⎡4 − 2 1 ⎤
(
)
(
)
2
−
3
⎢
⎥
⎢
⎥
A
A
3
⎯→ ⎢0 3 7 ⎥ ⎯⎯2 ,⎯
⎯→⎢⎢0 3
U = ⎢ 20 − 7 12⎥ ⎯⎯1, 3⎯
7 ⎥⎥
⎢⎣− 8 13 17 ⎥⎦
⎢⎣0 9 19⎥⎦
⎢⎣0 0 − 2⎥⎦El tamaño de L es de 3x3 y está formada por los factores (con signo contrario) que se
utilizaron para generar los ceros en la matriz U
⎡ 1 0 0⎤
L = ⎢⎢ 5 1 0⎥⎥
⎢⎣− 2 3 1⎥⎦
En consecuencia
⎡ 4 −2 1⎤
⎡ 10 0⎤ ⎡4 − 2 1 ⎤
⎢
⎥
7 ⎥⎥
A = ⎢ 20 − 7 12⎥ = LU = ⎢⎢ 5 1 0⎥⎥ ⎢⎢0 3
⎢⎣− 8 13 17 ⎥⎦
⎢⎣− 2 3 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 2⎥⎦

Ejemplo 2
Encuentre la factorización LU de A.
1
1 ⎤
⎡ 4
⎢
A = ⎢− 12 2 − 4⎥⎥
⎢⎣ 20 − 5 10 ⎥⎦ALGEBRA LINEAL

1

M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NÚÑEZ
M.C. ELIZABETH GPE. LARA HERNÁNDEZ

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

1
1 ⎤ A1, 2(3 ) ⎡4 1
1⎤
⎡ 4
⎡4 1 1⎤
( −5 ) ⎢
(2 ) ⎢
⎢
⎥
⎥
A
A
1, 3
2,3
⎯→ ⎢0
− 1⎥ ⎯⎯ ⎯→ ⎢0 5 − 1⎥⎥
5
U = ⎢− 12 2 − 4⎥ ⎯⎯ ⎯
⎢⎣ 20 − 5 10 ⎥⎦
⎢⎣0 − 10 5 ⎥⎦
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
El tamaño de L es de 3x3 y está formada por los factores (con signocontrario) que se
utilizaron para generar los ceros en la matriz U
0 0⎤
⎡1
⎢
L = ⎢− 3 1 0⎥⎥
⎢⎣ 5 − 2 1⎥⎦
En consecuencia
1
1⎤
0 0⎤ ⎡4 1 1 ⎤
⎡ 4
⎡1
⎢
⎥
⎢
A = ⎢− 12 2 − 4⎥ = LU = ⎢− 3 1 0⎥⎥ ⎢⎢0 5 − 1⎥⎥⎢⎣ 20 − 5 10 ⎥⎦
⎢⎣ 5 − 2 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦

Teorema
Si A es una matriz mxn que puede reducirse a la forma de escalón U solo con eliminaciones,
entonces A tiene una factorización LU. En particular, A...