Factorizacion

En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a- b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar un polinomio
Antes que nada, hay que decir que no todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideranlos números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
-Binomios
1. Diferencia de Cuadrados
2. Suma o Diferencia de Cubos
3. Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
• Trinomios
1. Trinomio Cuadrado Perfecto
2. Trinomio de la forma x²+bx+c
3. Trinomio de la forma ax²+bx+c
• Polinomios
1. Factor Común
Caso I - Factor comúnSacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.
Factor común monomio []
Factor común por agrupación de términos


Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aqui que elfactor comun no solo cuenta con un termino, sino con dos.
veamos un ejemplo: 5x2(x -y) + 3x(x -y) +7(x -y)
Se aprecia claramente que se esta repitiendo el polinomio (x -y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir: (5x2 + 3x +7)
Finalmente la respuesta será: (x -y)(5x2 + 3x +7)
En algunos casos debemos utilizar el número 1, porejemplo en: 5a2(3a +b) +3a +b Que se puede utilizar como: 5a2(3a +b) +1(3a +b)
Entonces la respuesta seria: (3a +b) (5a2 +1)
Caso II - Factor común por agrupación de términos
Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una delas características, y se le aplica el primer caso, es decir:



Un ejemplo numerico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj =
entonces puedes agruparlos de la sgte manera:
=(2y+2j)+(3xy+3xj)
Aplicamos el primer caso (Factor común)
2(y+j)+3x(y+j)
=(2+3x)(y+j)
Caso III - Trinomio cuadrado perfecto []
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restanteequivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por mediode dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b)), uno negativo y otro positivo. En los paréntesis deben colocarse las raíces. Ejemplo:

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción []
Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus...