Factorización

FACTORIZACIÓN
Es la descomposición de un producto en forma de multiplicación, es decir convertir una expresión algebraica en el producto indicado de sus factores.
Factorización de un monomio
Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección y corresponden a la descomposición del término en el producto de sus factores primos.
Ejemplos:
Factorizar:
4ab = 4 . a . b

8abc =23 . a . b . c mcd(8)= 2 . 2 . 2 = 23

3x2y = 3 . x . x . y


Factorización de un polinomio
Cuando los términos de un polinomio tienen un factor común.
Factor común monomio

Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.

Ejemplos:

a2+ 2ª = a(a + 2)

10a2 - 5ª + 15a3 = 5a(2a – 1 + 3a2) mcd (10,5,15) = 5

24m2ny2 - 36n2y4 = 12ny2(2m2 - 3ny2) mcd (24,36) = 12

Factor común polinomio
Se coloca el factor común como coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se escriben los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común.
Ejemplos:
x(a + b) + m(a + b) = (a + b) (x + m)4m(y - 6) - y - 6 = 4m(y - 6) - (y - 6) = (y - 6) (4m - 1)

(2m - n) (x + 6) + y(x + 6) = (x + 6) (2m - n + y)

Factor común por agrupación de términos

Se agrupan los términos que tengan factor común, asociándolos entre paréntesis y luego se extrae el factor común de cada uno.
Ejemplos:

ax + bx + ay + by
(ax + bx) + (ay + by)
x (a + b) + y(a + b) = (a + b) (x + y)


3m –2n – 2nx4 + 3 mx4
(3m – 2n) + (3mx4 – 2nx4)
(3m – 2n) + x4(3m – 2n) = (3m – 2n) (1 + x4)

4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx
(4a3x – 4a2b) – (3amx - 3bm)
4a2(ax – b) – 3m(ax – b) = (ax – b) (4a2 – 3m)

Trinomio cuadrado perfecto

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el producto de dos factores iguales. Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir elproducto de dos binomios iguales.
Raíz cuadrada de un monomio
Se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2.
Ejemplos:
La raíz cuadrada de:
√(100x^6 y^4 ) = 10x3y2

√(64 a^8 b^2 ) = 8a4b

√(36 m^4 n^10 x^6 ) = 6m2n5x3

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando el primero y tercer términos son cuadrados perfectos y positivos, y el segundotérmino es el doble producto de sus raíces.
Para factorizar un Trinomio Cuadrado Perfecto se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer términos del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplos:
Factorizar

a2 – 4ab + 4b2 = (a – 2b)2
√(a^2 ) √(4b^2)
a 2b comprobación del trinomio cuadrado perfecto
2(a)(2b)=4ab


4x2 + 25y2 - 20xy
4x2 - 20xy + 25y2 = (2x - 5y)2
√4x2 √25y2
2x 5y
2(2x)(5y) = 20xy
x2 + bx + b2 = (x + b)2
4 2
√x2 √b2
2
x b
2
2 (x) b = 2bx = bx
1 1 2 2


Diferencia de cuadrados perfectos
En los productos notables sehalla el producto suma por diferencia, es decir, el producto entre la suma de dos binomios y su diferencia equivale a una diferencia de cuadrados perfectos.
Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se efectúa el producto entre la suma de éstas raíces cuadradas y su diferencia.
Ejemplos:

Factorizar:

a2 - b2 = (a + b) (a - b)√(a^2 ) - √(b^2 )
a b

16x2 - 25y4 = (4x - 5y2) (4x + 5y2)
√(〖16x〗^2 ) - √(〖25y〗^4 )
4x 5y2


a^2/4 - b^4/9 = ((a )/2+(〖 b〗^2 )/3 ) ((a )/2-(〖 b〗^2 )/3 )
√((〖 a〗^2 )/4) - √((〖 b〗^4 )/9)
a/2 b/3
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Se identifica si el trinomio es cuadrado perfecto, si no lo es se realiza la conversión a...