Falacias

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Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matem´ticas a
ALGEBRA LINEAL Taller unidad IV Transformaciones Lienales Mayo de 2010
I. Indicar cu´les de las siguientes transformaciones sonlineales, si lo son, a para dichas transformaciones encontrar: bases para el n´cleo y para la u imagen , el rango y la nulidad. Adem´s verificar si las transformaciones a son inyectivas o sobreyectivas, eindicar si son o no un isomorfismo. 1. T : R3 −→ R3 ; T (x, y, z) = (x, y, −z). 2. T : P2 −→ R; T [p(x)] = p(0). 3. T : R3 −→ R; T (x) = x • z donde z es un vector fijo de R3 . 4. T : V −→ V ; T (v) = v +u, donde u = 0 es un vector concreto de V . 5. T : Mn×n −→ R; T (A) = det(A). 6. T : M2×2 −→ R ; T a b = a + d. c d 0 1 1 0

7. T : M2×2 −→ M2×2 ; T (X) = XA − AX, donde A = II. En cada casosuponer que T es transformaci´n lineal o

1. T : V −→ R es tal que T (v1 ) = 2 , T (v2 ) = −3, hallar T (3v1 + 2v2 ). 2. T : R2 −→ R2 es tal que T 3. T : R2 −→ R2 es tal que T 1 1 1 0 −1 = ,T = , Hallar T. 3 1 1 1 3 1 0 1 1 1 = ,T = , Hallar T . −1 1 1 0 −7

4. Si T : P2 −→ R es tal que T (x + 2) = 1, T (1) = 5, T (x2 + x) = 0. Obtener T (2 − x + 3x2 ). o III. En cada caso encontrar unatransformaci´n lineal con las propiedades dadas y calcular T (v). 1. T : R2 −→ R3 ; T (2, −1) = (1, −1, 1), T (1, 1) = (0, 1, 0); v = (−1, 2). 1

2. T : M2×2 −→ R; T T 0 0 a b ;v= . 0 1 c d

1 0 0 0

= 3,T

0 1 1 0

= −1, T

1 0 1 0

= 0 =

o IV. Si T : V −→ V es una aplicaci´n lineal, determinar T (v) y T (w) de forma que T (v + 2w) = 3v − w y T (v − w) = 2v − 4w. V. Sea T : V −→ W unatransformaci´n lineal. Demostrar que si P es subeo spacio de W , entonces T −1 [P ] = {v ∈ V : T (v) ∈ P } es un subespacio de V. VI. Sea T : V −→ W una transformaci´n lineal y sean v1 , ..., vn vectoresde o V. 1. Si el conjunto {T (v1 ), ..., T (vn )} es linealmente independiente, demostrar que {v1 , ..., vn } tambi´n es linealmente independiente. e 2. Encontrar T : R2 −→ R2 de tal forma que el...
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