Falsa posicion

Serejeved

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8. Doble falsa posición Uno de los más antiguos métodos de aproximar las raíces de una ecuación es la regla conocida como de doble falsa posición. Este método se originó, segúnparece en la India y fue utilizado por los árabes. Encuentra una explicación de la doble falsa posición y aplícala al cálculo de: a. La raíz de b. La raíz de
x 3 − 36x 72= 0 que está entre 2 y 3 con 3cifras decimales. x ·tan x = 0 que está entre 9,4 y 9,5 con 3 cifras decimales

Método de la doble falsa posición
Lo utilizaban los hindúes y árabes en la Edad Media para la resolución deproblemas basados en una ecuación de primer grado, pero en la que aparecen dos incógnitas. Un modelo de este tipo de problemas es: “Sea ahora un número (de personas) comprando mercancías. Si cada persona pagax 1 existe un exceso (ying) de d 1 ; si cada persona paga x 2 existe un exceso de d 2 . Encontrar el número de personas y el coste de las mercancías”. (El exceso puede ser positivo o negativo,déficit en este último caso). Llamando x: precio que paga cada persona a: nº de personas. b: coste total de las mercancías. La ecuación a resolver es

a · x =b

Para la cual nos dan dos supuestos: a · x1 = b d 1

a · x2 = b  d 2

Restando miembro a miembro:  x 2− x1 a = d 2− d 1 De donde a= A partir de este valor de d 2 −d 1 x 2− x1

a se calcula el de b sin más que sustituir en una de lasecuaciones: d −d 1 d x − d 1 x 1 − d 1 x 2  d 1 x 1 d 2 x 1− d 1 x 2 b = a · x1 − d 1 = 2 x 1 −d 1= 2 1 = x 2 − x1 x2− x1 x 2− x1

Si los valores de

a ,b son realmente conocidos, se podrácalcular b d x −d 1 x 2 x= = 2 1 a d 2− d 1

x despejando en la ecuación inicial:

El método se puede generalizar para encontrar la solución de una ecuación no lineal del tipo f  x = 0

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siempre que se cumplan ciertas condiciones que permitan aproximar
f  x ≃ r  x= ax −b

f

por una función lineal:

Y en el supuesto de que

sea continua. Si se conoce un...