Fasores

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Representaci´n de Vibraciones Arm´nicas o o Mediante Fasores: Isomorfismo de Espacios Vectoriales
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica ıa a e o Universidad de Guanajuato Salamanca, Gto. 38730, M´xico e email: jrico@salamanca.ugto.mx January 17, 2010
Abstract Estas notas muestran, de manera formal, como esposible representar vibraciones arm´nicas como fasores; es decir, mediante vectores rotatoo rios. Para este prop´sito, se emplean algunos conceptos fundamentales o del ´lgebra lineal como lo son: Espacios vectoriales, transformaciones lina eales e isomorfismo de espacios vectoriales.

1

Espacios Vectoriales Involucrados
1. Aω , el espacio vectorial de funciones arm´nicas de frecuencia circularω. o De manera formal, se probar´ que el conjunto a Aω = {f (t) | f (t) = x0 Sen(ωt + φ), junto con las operaciones • Adici´n de funciones. Sean f1 (t), f2 (t) ∈ Aω . Entonces o (f1 + f2 )(t) = f1 (t) + f2 (t) ∀t. donde x0 ∈ [0, ∞), φ ∈ [0, 2π)}1

En esta secci´n se presentar´n los espacios vectoriales involucrados en la prueba. o a

• Multiplicaci´n por escalar. Sea f (t) ∈ Aω y λ ∈ . Entonceso (λf )(t) = λ(f (t)) ∀t.

1 Debe notarse que el ´ngulo φ se define m´dulo 2π. Es decir φ = φ + 2nπ, donde n es a o entero.

1

constituyen un espacio vectorial real. 2. , el espacio vectorial de parejas ordenadas de n´ meros reales. De manera u formal se probar´ que el conjunto a
2 2

= {x = (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈

}

junto con las operaciones • Adici´n de parejas ordenadas. Sean x,y ∈ o
2

, entonces

x + y = (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ). • Multiplicaci´n por escalar. Sean x ∈ o
2

, y λ ∈ , entonces

λx = λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ). constituyen un espacio vectorial real. 3. V 2 , el espacio vectorial de vectores geom´trico, “flechas”, en el plano. e a De manera formal, V 2 est´ formado por flechas, a, que se dibujan desde un origenarbitrariamente seleccionado, de longitud a, donde a ∈ [0, ∞) y tal que la flecha forma un angulo φ con el semieje positivo x, donde ´ φ ∈ [0, 2π), vea la Figura 1.

Figure 1: Vector Geom´trico en el Plano. e De manera formal se probar´ que este conjunto de vectores geom´tricos a e junto con las operaciones de multiplicaci´n por escalar y adici´n de veco o tores geom´tricos, definidas graficamente en la Figura2, constituyen un e espacio vectorial. 2

Figure 2: Definici´n de la Multiplicaci´n por Escalar y Adici´n de Vectores o o o Geom´tricos. e

1.1

Clausura de los Conjuntos Bajo las Operaciones Indicadas

Debido a restricciones de espacio, exclusivamente se probar´ que los dos primeros a a o conjuntos, Aω y 2 , est´n cerrados respecto a la suma y multiplicaci´n por un escalar real. Laclausura del ultimo conjunto, V 2 , bajo la multiplicaci´n por ´ o escalar y la adici´n de vectores es evidente de la definici´n gr´fica de las opo o a eraciones mostrada en la Figura 2. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que el resto de los axiomas de un espacio vectorial, que incluyen la asociatividad de la adici´n, la commutatividad de la adici´n, la existencia de un id´ntico aditivo, la o o eexistencia de inversos aditivos, la pseudoasociatividad de la multiplicaci´n por o escalar, la distributividad de la multiplicaci´n por escalar respecto a la adici´n o o deben a˜ adirse para una prueba completa. n o I. Aω , el espacio vectorial de funciones arm´nicas de frecuencia circular ω. • Clausura respecto a la multiplicaci´n por escalar. o Sea f (t) = x0 Sen(ωt + φ) ∈ Aω , y λ ∈ , entonces λ[f (t)]= λ[x0 Sen(ωt + φ)] = (λx0 )Sen(ωt + φ) Puesto que λx0 ∈ [0, ∞), resulta que λ[f (t)] ∈ Aω .2
2 Si

λ ≤ 0, entonces λ[f (t)] = λ[x0 Sen(ωt + φ)] = (| λ | x0 )Sen(ωt + φ + π).

a Entonces, puesto que | λ | x0 ∈ [0, ∞), la clausura se mantiene. Adem´s, note que φ + π ∈ [0, 2π) m´dulo 2π. o

3

• Clausura respecto a la adici´n. o Sean f1 (t) = x01 Sen(ωt + φ), f2 (t) = x02 Sen(ωt + ψ),...
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