Feos

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1 Facultad de Ingenieria Calculo I Curso 2006

Ejercicios de Taylor.
Ejercicio 1. Encontrar el polinomios de Taylor en x = 0 asociado a cada una de las siguientes funciones:
a)f(x) = ex , b)f (x) = sen(x), c)f (x) = cos(x), d)f (x) = L(x + 1),

e)f (x) = e−x ,

f )f (x) = senh(x),

g)f (x) =

1 1−x

Ejercicio 2.
i) l´ ım

a) Mediante desarollosde Taylor calcular los siguientes l´ ımites: ii) l´ ım sen(x) − tg(x) (discutir seg´n α ∈ R), u xα iii) l´ ım L|sen(x)| L|sen(2x)|

ex − 1 − x , x→0 x2

x→0

x→π

b) clasificarlas siguientes series: 1 1 i) e n − 1 − n . 1 1 ii) sen( n ) − tg( n ). iii) 1/n − sen(1/n). vi) Arcsen(1/n) − 1/n.

Ejercicio 3. Determinar las constantes en cada uno de los casossiguientes:
i) a, b, c ∈ R si l´ x→0 aL(1−x)+bL(1+x)+3x = c. ım x3 ii) a, b ∈ R si l´ x→0 x−3 sen(3x) + ax−2 + b = 0. ım ax x iii) a, A ∈ R si l´ x→0 e −e −x = A ım x2
2Ejercicio 4. i) Probar que la funci´n f (x) = ex − x − x2 /2 − x3 /6 tiene un m´ o ınimo en x = 0 (usar el desarrollo
de Taylor en x = 0 de ex ). ii) Mostrar que f (x) = x2 (1 − cos(x)) +x5 cos(2x) cumple que f (0) = f (0) = f (0) = f (0) = 0 y que ınimo relativo en x = 0. f iv (0) = 12. Como consecuencia demostrar que f tiene un m´

Ejercicio 5. Demostrar lasiguiente proposici´n: o
Sean f : I → R y a ∈ I tales que existe f (n) (a) ∈ R y f (n−1) es continua en un cierto E(a) ⊂ I. Si f (k) (a) = 0 para k = 0, ..., n − 1 y f (n) (a) = 0,entonces: ınimo relativo en x = a. i) Si n es par y f (n) (a) > 0, f tiene un m´ (n) ii) Si n es par y f (a) < 0, f tiene un m´ximo relativo en x = a. a iii) Si n es impar f no tiene unextremo relativo en x = a.

u Ejercicio 6. Determinar un valor aproximado para el n´mero e cometiendo un error menor que 10−6 (usar la expresi´n de Lagrange para el resto). o

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