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´ ´ Miscelanea Matematica 39 (2004) 61–84

SMM

La Funci´n Gama o
Juan Jos´ Rivaud e
Secci´n de Metodolog´ y o ıa Teor´ de la Ciencia ıa CINVESTAV jrivaud@mail.cinvestav.mx

Presentaci´n o El presente trabajo tiene como antecedente una versi´n preo via elaborada para el III Coloquio del Departamento de Matem´ticas del CINVESTAV. Los organizadores de la reuni´n me a o pidieron que comocomplemento a un curso de variable compleja ofrecido dentro del programa, en poco m´s de dos horas, hiciese a un resumen de la funci´n Γ. Recuerdo que en esa ocasi´n no o o me decid´ por exponer de manera tradicional y pretender dar ıa un panorama elemental de la funci´n Γ, o hacerlo en forma m´s o a amable cubriendo unicamente algunos temas. ´ Hace unos meses revisando mis archivos volv´ atropezarme ı con este material y me pareci´ que segu´ teniendo sentido ofreo ıa c´rselo a los estudiantes y maestros de las licenciaturas en mae tem´ticas como complemento de un curso de variable complea ja. Me pregunt´ nuevamente lo mismo, si no ser´ mejor un e ıa planteamiento m´s amable, lo cual implicaba seleccionar el maa terial y eliminar una buena parte de ´ste; o usar la presentaci´n, e odefinici´n, teorema, corolario, definici´n... tomando la misma o o decisi´n que hace veinte a˜os. o n Esta nueva versi´n difiere de la primera en que se ha mejorao do la redacci´n y se han incorporado algunas aplicaciones seno cillas m´s. Como sucede con frecuencia uno est´ tentado a exa a poner aplicaciones m´s delicadas y poderosas, que pongan de a manifiesto la fuerza de la teor´ pero ello har´ que creciesedesıa, ıa proporcionadamente el tama˜o del trabajo por lo que a pesar n del consejo de los revisores no lo hicimos y unicamente damos ´ algo de bibliograf´ al respecto. ıa Por ultimo, quiero darle las gracias por sus comentarios y ´ sugerencias a la Dra. Ana Meda de la Fac. de Ciencias de la

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´ Juan Jose Rivaud

UNAM, al Dr. Ra´l Rueda del Inst. de Investigaciones en Mau tem´ticasAplicadas y Sistemas de la UNAM, y al Dr. Carlos a Ibarra del Departamento de Matem´ticas de la UAM-I. a Ojal´ y estas notas les sean de utilidad a algunos de los a lectores.

1.

Introducci´n y motivaci´n o o

Una de las herramientas de gran uso en la soluci´n de ecuaciones o diferenciales ordinarias y parciales es la transformada de Laplace de una funci´n f (x), definida para x > 0 ydenotada por L (f (x)). Est´ definio a da por


L [f (x)] (s) =

e−sx f (x)dx ,
0

y tiene sentido para toda s en la que la integral existe. En el estudio de este objeto matem´tico se ha trabajado intensaa mente y son innumerables los libros y monograf´ que le dedican uno ıas o varios cap´ ıtulos. Como es natural uno de los primeros problemas que se consideran es el c´lculo de transformadas defunciones sencillas, como por ejemplo a n−1 x (la elecci´n del coeficiente n − 1 es para simplificar la notaci´n), o o


L xn−1 (s) =

e−sx xn−1 dx
0

(n > 0) ,

que introduciendo el cambio sx = t, nos da L xn−1 (s) = 1 sn


e−t tn−1 dt .
0

La expresi´n anterior nos dice que o L xn−1 (s) = k (n) , sn

teniendo as´ determinada la transformada, m´dulo la constante k(n), ı o la cuals´lo depende de n y que est´ dada por o a


k (n) =
0

e−t tn−1 dt

(n > 0) .

Esta misma integral aparece con frecuencia en la soluci´n de divero sos problemas, y en muchos casos nos interesa su valor para n no es

´ La Funcion Gama

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un n´mero natural (ejemplo de ello es precisamente el de la transforu mada de Laplace de xn−1 que acabamos de plantear, en donde n puede sercualquier real mayor que cero). Dicha integral es lo que llamamos funci´n Gama. o


Γ (λ) =
0

e−t tλ−1 dt

(λ > 0) .

Las siguientes p´ginas est´n dedicadas a su estudio. a a Al igual que con otras funciones, la definici´n no solo tiene sentido o para λ real mayor que cero, sino tambi´n para n´meros complejos, y es e u dentro de este marco que su estudio se vuelve m´s claro. En este...
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