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Números Funciones Límites

Límite en un punto Infinito Límites ε − δ

Límite de una función en un punto
Definición Sea f una función definida en un entorno de a ∈ R aunque no necesariamente en a y L ∈ R. El límite de f (x) cuando x tiende a a es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: lim f(x) = L
x→a

Definición (Límites laterales) El límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda (derecha) es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x < a (x > a) suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota:
x→a−

lim f (x) = L

x→a+

lim f (x) = L

Teorema Sea f una función definida en un entorno de a ∈ R aunque no necesariamenteen a y L ∈ R. Se tiene que
x→a

lim f (x) = L si y solo si lim f (x) = L = lim f (x).
x→a− x→a+ Rafael Bravo de la Parra Cálculo I

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Límite en un punto Infinito Límites ε − δ

Límites y operaciones
Teorema (Límites y suma y producto) Si existen los límites lim f (x) y lim g(x) entonces
x→a x→a x→a x→a

lim (f ± g)(x) = lim f (x) ± lim g(x).
x→a x→a

lim(f · g)(x) = lim f (x) · lim g(x).
x→a x→a

Teorema (Límites y cociente) Si existen los límites lim f (x) y lim g(x) y éste último es distinto de 0 entonces
x→a x→a

x→a

lim

lim f (x) f (x) x→a = . g(x) lim g(x)
x→a

Teorema (Límites y composición) Si lim f (x) = b y lim g(x) = L, entonces
x→a x→b

x→a

lim g(f (x)) = L.
Cálculo I

Rafael Bravo de la Parra

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Límite en un punto Infinito Límites ε − δ

Más teoremas sobre límites
Teorema Sean a, c ∈ R. Entonces:
x→a x→a

lim c = c. lim x = a.

Corolario Si f (x) es un polinomio o una función racional y a ∈ dom f entonces:
x→a

lim f (x) = f (a).

Teorema Si f (x) es una función potencial (xα ), trigonométrica (sen x, cos x, tg x,...), exponencial (bx ), logarítmica (logb x) otrigonométrica inversa (arcsen x, arccos x, arctg x,...) y a ∈ dom f entonces: lim f (x) = f (a).
x→a

Rafael Bravo de la Parra

Cálculo I

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Límite en un punto Infinito Límites ε − δ

Límites y orden

Teorema Sean f y g dos funciones definidas y que verifican f(x) ≤ g(x) en un entorno de a. Si existen lim f (x) y lim g(x) entonces
x→a x→a x→a

lim f (x) ≤ limg(x)
x→a

Corolario (teorema de compresión o del sandwich) Sean f , g y h tres funciones definidas y que verifican f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) en un entorno de a. Si existen lim f (x) y lim g(x) y son iguales entonces existe lim h(x) y
x→a x→a x→a

se verifica
x→a

lim f (x) = lim h(x) = lim g(x).
x→a x→a

Rafael Bravo de la Parra

Cálculo I

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Límite en un puntoInfinito Límites ε − δ

Límites infinitos
Definición El límite de f (x) cuando x tiende a a es +∞ si podemos hacer tan grandes como queramos los valores de f (x) sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota:
x→a

lim f (x) = +∞

Análogamente se definirían los límites laterales. Definición El límite de f (x) cuando x tiende a a es −∞ si podemos hacer negativos y tangrandes en valor absoluto como queramos los valores de f (x) sin más que coger x suficientemente cerca de a pero distinto de a. Se denota: lim f (x) = −∞
x→a

Análogamente se definirían los límites infinitos laterales. Definición (Asíntota vertical) Si el límite de f (x) cuando x tiende a a (o a+ o a− ) es +∞ (o −∞) se dice que la recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x).
RafaelBravo de la Parra Cálculo I

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Límite en un punto Infinito Límites ε − δ

Límites en el infinito
Definición El límite de f (x) cuando x tiende a +∞ es L si podemos acercar tanto como queramos los valores de f (x) a L sin más que coger x suficientemente grande. Se denota lim f (x) = L

x→+∞

Definición El límite de f (x) cuando x tiende a −∞ es L si podemos...