Fibonacci

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Fibonacci
Leonardo de Pisa, Fibonacci, es el que da a conocer al mundo la sucesión de Fibonacci en su libro Liber abaci, junto con el problema de los conejos.
La sucesión de Fibonacci o secuenciaáurea ya había sido descubierta con anterioridad por matemáticos hindúes tales como Gopala (antes de 1135) y Hemachandra (c. 1150) quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban consílabas o nos de uno o dos pulsos. El número de tales ritmos (teniendo juntos una cantidad n de pulsos) era F(n+1), que es como sed representa al término n+1 de la sucesión de Fibonacci. Kepler tambiénescribió sobre dicha sucesión. Y Robert Simson (en 1753) descubrió que:
F(n)/F(n-1)—>Relacion áurea cuando n tiende a infinito
La suceesión de Fibonacci es una sucesión de números de la forma:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…
Y su fórmula general es una función recursiva de término general

A esta fórmula se llega de forma sencilla mediante el método de diferencias divididas.Si consideramos laexpresión F(n) = F(n-1)+F(n-2) y realizamos el cambio de variable x=F(n-1) llegamos a la expresión x²-x-1=0, cuyas soluciones son:


Es decir, las soluciones son el número áureo (1,618033989….) ysu conjugado. Hay que tener que el número áureo es un número irracional por serlo la raíz de cinco. Este número áureo lo podemos considerar como uno de los valores propios de nuestra fórmula recursivade Fibonacci, junto con su conjugado. Teniendo en cuenta que dichos valores propios son reales y distintos; y que nuestra forma recursiva la podemos considerar como una ecuación en diferencias,podemos averiguar la expresión de F(n) de forma explícita mediante:F(n) = a Fi^n + b fi^n , para averiguar a y b basta sustituir n = 0 y n= 2, obteniendo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, Alresolverlo nos queda que el término general de la sucesión de Fibonacci, en forma explícita es:

Fibonacci y la naturaleza
Como podéis ver en el gráfico, el número de parejas a lo largo de los...
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