Filosofia de philip corsby

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VALORES Y VECTORES PROPIOS
Ö En

diversos campos de la ingeniería y las matemáticas surge el problema de calcular los valores escalares λ y los vectores x≠0 tales que para la matriz cuadrada A se cumple Ax = λx (1) de estos campos de aplicación son: - Ecuaciones diferenciales - Estabilidad de sistemas lineales - Sistemas eléctricos (componentes simétricas) - Polos y ceros de funcionestransferencia - Diagonalización de matrices

Ö Algunos

Ö Podemos

averiguar si el problema planteado por (1) tiene solución si la reescribimos como sigue (A - λΙ)x = 0 (2)

Ö Así

el problema se transforma en el ya conocido sistema lineal homogéneo Bx=0, el cual ya sabemos que tiene solución única x=0 cuando det(B)≠0. Justamente este es el caso que no nos interesa. número λ se dice valor propiode A (matriz cuadrada) si y sólo si

Ö El

det(A - λΙ) = 0 (3) esta es la ecuación característica de la matriz A.

Ö El

determinante que aparece en (3) resulta ser un polinomio en potencias de λ. Por ello a la expresión a(λ)=det(A - λΙ) (4) se le llama polinomio característico de la matriz A.

O Observación: El polinomio característico de una matriz de dimensión n×n es de grado n, porlo cual tendrá n posibles valores propios λ que satisfacen (3)
Ö Si

λ es un valor propio de A y si x es el vector no nulo tal que Ax = λx entonces x se dice vector propio de A correspondiente al valor propio λ Ejemplo: Calcular los valores y vectores propios para la matriz A =
4 −5 2 −3 det(A − kI) = det 4 − k −5 =0 2 −3 − k

Solución: La ecuación característica queda:

o sea:(4-λ)(-3-λ) + 10 = λ 2 - λ -2=0 factorizando: (λ+1)(λ−2) = 0 con lo cual obtenemos dos valores propios: λ1 = -1, λ2 = 2 buscamos ahora los correspondientes vectores propios: para λ1 = -1:
(a − k 1 I)x = 5 −5 2 −2 x1 x2 = 0 0

el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x=[x1, x1]t. Así, por ejemplo x=[1 1]t es un vector propio correspondiente a λ1 = -1. para λ2 = 2:
(a − k 1 I)x = 2−5 2 −5 x1 x2 = 0 0

nuevamente el sistema obtenido tiene una infinidad de soluciones de la forma x=[x1, 0.4x1]t. Así, por ejemplo x=[5 2]t es un vector propio correspondiente a λ2 = 2.
Ö Como

puede verse del ejemplo anterior, a un valor propio λ en general le corresponden una infinidad de vectores propios este conjunto infinito es un espacio vectorial y se denomina el espacio propiocorrespondiente a λ

ð Obsérvese además que para un λk dado, su espacio propio correspondiente es el espacio nulo de la matriz (A-λI).
: en Matlab:
» % Introducimos la matriz del ejemplo » A=[4 -5;2 -3]; » % Calculamos sus valores propios: » eig(A) ans = 2 -1 » % Calculamos sus vectores propios unitarios: » [V,D]=eig(A); V = 0.9285 0.7071 0.3714 0.7071 D = 2 0 0 -1

Propiedades Básicas de losvalores propios
Ö La

suma de los n valores propios de la matriz A es igual a su traza: λ1+λ2+...+λn = traza(A)

Ö El

producto de los n valores propios de la matriz A es igual a su determinante: λ1λ2...λn = det(A)

Ö Los

valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los valores de su diagonal.
01 . Calcula sus valores 10

@Tarea: Para la matriz A =

propios, susvectores propios unitarios correspondientes y verifica las dos primeras propiedades anteriores. Diagonalización
Ö Dada

una matriz cuadrada A, y una matriz invertible T. A la matriz B=T-1AT se le llama matriz similar a A y a la operación T-1AT se le llama transformación de similaridad básicas: Una transformación de similaridad es una relación de equivalencia porque es: - Reflexiva: Una matrizes similar a sí misma. - Simétrica: Si A es similar a B, B es similar a A.

Ö Propiedades

- Transitiva: Si A es similar a B y B es similar a C, entonces A es similar a C. @Tarea: a) Demostrar las propiedades básicas. b) Dar otro ejemplo de una relación de equivalencia.
Ö Otras

propiedades: - Las siguientes características de una matriz son invariantes (no se alteran) bajo una...
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