Final Razones Y Proporciones Niv Mat 2014 Col

DEFINICIONES:
Razón: es la división o cuociente entre dos cantidades. La denotaremos
por k. Esto es: las cantidades se comparan mediante su cuociente.
Proporción: es la igualdad de dos razones.

PROPORCION DIRECTA:
y es directamente proporcional (o simplemente proporcional) a x si
y
x =

k, o equivalentemente si y = kx, donde k es la constante de

proporcionalidad.
Su gráfica es de la forma:PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES:
a
c
b = d;
a
b
c = d;
a„b
c„d
b = d ;

y

ad = bc;
a„b
a
a+b
a-b

=
=

c„d
c ;
c+d
c-d;

PROPORCION DISCONTINUA
a
b

= dc ;

aÁb Ác Ád

a, b, c, ó d son llamados Cuarta Proporcional Geométrica, con
respecto a las otras tres cantidades.

x

Así y es directamente proporcional a xn (o que y varía directamente
con la enésima potencia de x) si
y
y = kxn con n > 0, oequivalentemente si xn = k
PROPORCION INVERSA:
y es inversamente proporcional a x si xy = k, o equivalentemente si y

= kx , donde k es la constante de proporcionalidad.
Su gráfica es de la forma:
y

PROPORCIÓN CONTINUA
a
b

= db ;

b 2 = ad

aÁd

a ó d son llamados Tercera Proporcional Geométrica, con respecto a
las otras dos cantidades.
b es llamada Media Proporcional Geométrica, con respecto a lasotras
2 cantidades.

x

Así y es inversamente proporcional a xn (o que y varía inversamente
con la enésima potencia de x) si

y = kx

n

=

k
xn

con n > 0, o equivalentemente si

yxn = k

SERIE DE RAZONES.
a
c
e
b = d = f
a + c + e + ...
b +d + f + ...

VARIACION CONJUNTA Y COMBINADA

= ... = k;
=k=

a
b

=

c
d

=

e
f

= ...

Una variable puede ser directamente proporcional a los productos depotencias de varias variables.
1

Si la variable z está dada por: z = k xm yn , m > 0, n > 0,
decimos que z varía conjuntamente con la potencia m de x y la
potencia n de y, o que z es conjuntamente proporcional a xm e yn .
Además una cantidad puede ser directamente proporcional a varias
variables e inversamente proporcional a otras variables. Este tipo de
variación se denomina variación combinada.Ejemplo:
Si z varía conjuntamente con el cubo de x y el cuadrado de y e
inversamente con la raíz cuadrada de w, se escribe como

z=k

x3 y2
Èw .

PORCENTAJES:
El porcentaje o tanto por ciento es siempre una proporción
directa y corresponde a una fracción con denominador constante
e igual a cien:

a% =

a
100

TANTO POR CIENTO DE UN NUMERO
a

El a% de x es: y = 100 x

PORCENTAJES SUCESIVOS:
p
El p%del q% de A es x, con x = 100
RELACION ENTRE
FRACCIONES
Ejemplo:

%

,

†

q
100 † A

NUMEROS

DECIMALES

Y

75
75% = 100
= 43 = 0.75

INTERES SIMPLE:
El interés es simple cuando los intereses que gana el capital
inicial no se capitalizan periódicamente.
Si se deposita un capital inicial C a un interés simple de un r%
por periodo, al cabo de n periodos se tendrá un capital final C0 dado
por: C0 =C + interés ganado
<
Esto es:
C0 = C + n † "!!
†C

INTERES COMPUESTO:
El interés es compuesto cuando los intereses que gana el capital
inicial se capitalizan periódicamente, es decir, se suman al capital inicial
a intervalos iguales de tiempo, constituyéndose de ese modo un nuevo
capital al final de cada periódo.
Si se deposita un capital inicial C a un interés compuesto de un
r% por período:
ElCapital final al término del primer periodo es:
<
<
C0 = C + "!!
† C = C ( 1 + "!!
)

RELACION PORCENTUAL DE DOS NUMEROS:
¿Qué % es a de x ?

a

El Capital final al término del segundo periodo es:
<
<
<
< #
C0 = C ( 1 + "!!
) + "!!
† C ( 1 + "!!
) = C ( 1 + "!!
)

Es y = x † 100%

CALCULO DEL TOTAL CONOCIDO EL PORCENTAJE:
¿De qué número x, a es el b%?

a
x

=

b
100

Ê x=

a
b

† 100

El Capitalfinal al término del tercer periodo es:
< #
<
< #
< $
C0 = C ( 1 + "!!
) + "!!
† C ( 1 + "!!
) = C ( 1 + "!!
)
2

Siguiendo este razonamiento, el capital final al término del
enésimo período está dado por:
< 8
C0 = C ( 1 + "!!
)
OBSERVACION:
Si consideramos los depósitos bancarios, la tasa de interés r dada,
es la tasa anual, aunque los periodos de capitalización pueden no ser
anuales. Podrían...