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Cálculo de la matriz inversa
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Cálculo de la matriz inversa

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1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

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2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye porsu adjunto.

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3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

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4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

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También puedes calcular la matriz inversa por el método Gauss.

Determinantes

Concepto de determinante

A cada matriz cuadrada A se leasigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).

A = [pic]

Determinante de orden uno

  |a11| = a11

  |5| = 5

Determinante de orden dos

  [pic] = a 11 a 22 - a 12 a 21

 

  [pic]

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

[pic]=

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

[pic] =

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Regla de Sarrus

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con sucorrespondiente vértice opuesto.

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Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundariay los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

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Ejemplo

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Menor complementario y adjunto

Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de unelemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

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Adjunto de un elemento de un determinante

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es +    si  i+j  es par.

El signo es -    si  i+j  es impar.

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El valor de undeterminante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

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Ejemplo

[pic] [pic] [pic] [pic]

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

  |a 11| = a 11

  |-2| = -2

Determinante de orden dos[pic] = a 11 a 22 - a 12 a 21

  [pic]

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

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Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

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2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos...
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