fisica

PAUTA PEP 1 Física I Plan anual
1) Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A = (1, 1, 1), B = (2, 2, 2),
y C = (1, −1, 1). Determine:
a) Las longitudes de los lados del triángulo

b) Losángulos del triángulo

c) El área del triángulo
Solución: Hay un punto (1p), base y se le suman:
Construimos vectores a lo largo de los lados
−
→
AB = (2, 2, 2) − (1, 1, 1) = (1, 1, 1)
−
−
→BC = (1, −1, 1) − (2, 2, 2) = (−1, −3, −1)
−
→
CA = (1, 1, 1) − (1, −1, 1) = (0, 2, 0)

(2p)

de donde las longitudes de los lados son
(a)
¯− ¯ √
¯ →¯
AB = ¯AB ¯ = 3 = 1. 732 1
√
√
1 + 9+ 1 = 11 = 3. 316 6
BC =
CA = 2

(1p)

(b)
ahora calculamos
− −
→ →
AB · AC = (1, 1, 1) · (0, −2, 0) = −2
− −
→ →
2
AB · AC
cos α = ¯− ¯ ¯− ¯ = − √ = −0.577 35
→¯ ¯ →¯
¯
2 3
¯AB ¯¯AC ¯

(1p)

α = 2. 186 3rad = 125. 27o

− −
→ −
→
BA · BC = − (1, 1, 1) · (−1, −3, −1) = 5
− −
→ −
→
5
BA · BC
cos β = ¯− ¯ ¯− ¯ = √ √ = 0.870 39
→
→¯ ¯ − ¯
¯
3 11
¯BA¯ ¯BC ¯
β =0.514 8rad = 29. 496o
1

(1p)

con dos ángulos es suficiente, de todos modos se calcula el tercero por si
alguien siguió otro orden
− −
→ −
→
CA · CB = − (0, 2, 0) · (−1, −3, −1) = 6
− −
→−
→
6
CA · CB
cos γ = ¯− ¯ ¯− ¯ = √ = 0.904 53
→
¯ →¯ ¯ − ¯ 2 11
¯CA¯ ¯CB ¯
γ = 0.440 52rad = 25. 240o

alternativa
−
→ −
→
AB × AC = (2, 0, −2)
¯−
→¯
¯ → − ¯
√
¯AB × AC ¯
2 2sin α = ¯− ¯ ¯− ¯ = √ = 0.816 50
¯ →¯ ¯ →¯
2 3
¯AB ¯ ¯AC ¯

−
→ −
−
→
BA × BC = − (1, 1, 1) × (−1, −3, −1) = − (2, 0, −2)
√
−
→ −
−
→
2 2
BA × BC
sin β = ¯− ¯ ¯− ¯ = √ √ = 0.492 37
→¯ →¯ ¯ − ¯
3 11
¯BA¯ ¯BC ¯
−
→ −
−
→
CA × CB = − (0, 2, 0) × (−1, −3, −1) = − (−2, 0, 2)
√
−
→ −
−
→
2 2
CA × CB
sin γ = ¯− ¯ ¯− ¯ = √ = 0.426 4
→
¯ →¯ ¯ − ¯
2 11
¯CA¯ ¯CB ¯Naturalmente suponemos que el alumno sabe que α + β + γ = 180
(chequeo 125. 27 + 29. 496 + 25. 240 = 180. 01)
(c)
Para obtener el área del triángulo calculamos por ejemplo
−
→ −
−
→
AB × BC =...