Fisica

Campo el´ctrico y superficies equipotenciales e La trazadora anal´gica o
2 de abril de 2008

1.

Objetivos
Determinar el campo de potencial electrost´tico entre dos electrodos met´licos. a a

2.

Material

Figura 1: Montaje de la pr´ctica de la trazadora anal´gica. a o

1 fuente de tensi´n de 10 V y 100 mA. o 1 mult´ ımetro digital 1 mesa de metacrilato con taladros. 1 plancha deespuma flexible con taladros. 1

1 juego de piezas de cobre. 1 juego de tuercas y tornillos. papel conductor. cables y pinzas de conexi´n. o

3.

Teor´ ıa

Cuando un objeto met´lico se conecta a una fuente de potencial V , en su superficie se a acumula una densidad de carga el´ctrica tal que el potencial el´ctrico en todo el objeto, incluida e e a su superficie, es igual a V . Si dos objetosmet´licos se conectan a potenciales V1 y V2 , el potencial a el´ctrico V (r) en el espacio entre ellos variar´ entre el valor V1 cerca del objeto 1, y el V2 cerca del e objeto 2, cumpliendo la ecuaci´n de Laplace ∇2 V (r) = 0. Aunque dicha ecuaci´n se deduce para o o el espacio vac´ sigue siendo aproximadamente v´lida si el espacio entre los objetos met´licos ıo, a a contiene un material uniforme deresistividad mucho mayor que la del metal, tal como el papel conductor usado en la pr´ctica. Ese papel conductor nos permitir´ medir el potencial V (r) a a usando un simple volt´ ımetro (que en realidad mide una peque˜a corriente entre sus bornes). n M´s exactamente, podremos medir la diferencia entre el potencial V (r) y el potencial en uno de a los objetos, como por ejemplo V1 . Al resolver laecuaci´n de Laplace, para obtener el potencial te´rico, hay que tener en cuenta o o que, puesto que realizamos las medidas sobre un plano, debemos usar la f´rmula del laplaciano en o o dos dimensiones. Si queremos hacer la analog´ con una situaci´n en tres dimensiones tendremos ıa que considerar que nuestros objetos son infinitos en la tercera dimensi´n, y, por lo tanto, lo que o estamos observandoser´ la proyecci´n de dichos objetos tridimensionales sobre un plano. As´ un a o ı, c´ ırculo y un rect´ngulo representar´n las secciones de un cilindro y de una placa perpendiculares a a al papel, respectivamente. De esta forma, obtenemos las siguientes expresiones aproximadas para el potencial el´ctrico a lo largo de las l´ e ıneas de trazos de la figura 2. Entre dos c´ ırculos met´licos deradios R1 y R2 conectados a potenciales V1 y V2 : a V (x) = V0 + Q ln x − x1 x2 − x (1)

siendo x1 y x2 (x1 < x2 ) las posiciones de los centros de los c´ ırculos y V0 = Q = V2 l1 + V1 l2 l1 + l2 V2 − V 1 l1 + l2 (2) (3)

donde l1 = ln((x12 /R1 ) − 1), l2 = ln((x12 /R2 ) − 1), x12 = x2 − x1 . Dentro de un anillo vac´ el ıo, potencial ser´ constante. a Para un c´ ırculo a potencial V1 , de radio R1centrado en x1 , y una barra a potencial V0 , con su borde izquierdo en x0 > x1 , podemos usar la misma ecuaci´n (1), sustituyendo V2 = 2V0 − V1 , o x2 = 2x0 − x1 y R2 = R1 . Entre un c´ ırculo interior de radio R1 , a potencial V1 , y un anillo conc´ntrico de radio interior e R2 a potencial V2 , el potencial viene dado por V (r) = V2 ln(r/R1 ) − V1 ln(r/R2 ) ln(R1 /R2 ) (4)

siendo r = |x − x1| la distancia al centro del c´ ırculo.

2

4.

Experimentos

Sujetar los electrodos met´licos (piezas de cobre) a la mesa de metacrilato, con el papel a conductor y la plancha flexible entre los electrodos y la mesa. Con ayuda del juego de tuercas y tornillos, asegurar un buen contacto entre los electrodos y el papel conductor. Conectar las dos pinzas de la fuente de tensi´n a la parteinferior de los tornillos que sujetan los dos electrodos. o En la fuente de tensi´n, establecer una diferencia de potencial V12 ≡ V2 − V1 ≃ 10 V. Uno de los o electrodos de la fuente se conecta a tierra y se toma como origen de potenciales, de modo que V1 = 0 y V2 = V12 . Con el mult´ ımetro digital en modo volt´ ımetro, medir el potencial V (r) al que se encuentran diversos puntos r del papel....