Fisica

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Ecuación de Schrödinger Pese a que el postulado de d’Broglie es consistente con la relatividad, Schrödinger basándose en los resultados experimentales acerca de la velocidad a la que viajan las partículas se limitó a desarrollar una teoría no relativista, y llamó a la función que gobierna el viaje de una partícula función de onda Ψ(x,t). La ecuación que rige la propagación de las ondas de materiadebe satisfacer los siguientes requisitos: a) Debe ser consistente con las ecuaciones de: d’Broglie Planck Energía en el límite clásico Descripción de ondas en el espacio
h λ= p E = hν p2 E= +U 2m 2π k= λ

ω = 2πν

b) Debe ser lineal en Ψ(x,t) para que se puedan superponer varias funciones de onda y reproducir los efectos de interferencia y difracción. c) El impulso de una partícula librees constante, por lo tanto cuando V = Vo = cte. La ecuación debe tener soluciones de onda viajera. Así, si sustituimos las expresiones de d’Broglie y Planck en la expresión de la energía clásica, nos queda:
1 ⎛ h⎞ ⎛ω ⎞ ⎜ ⎟ + V = h⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 2m ⎝ λ ⎠
2

1 ⎛ hk ⎞ ⎛ω ⎞ + Vo = h ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2π ⎠ 2m ⎝ 2π ⎠
2

2 2 k + Vo = ω 2m De manera general la ecuación diferencial de una función de onda es:∂2 Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂2 Ψ a 2 +b + dΨ = e +f 2 ∂x ∂x ∂t ∂t

1 2 k ) + Vo = ω ( 2m

Y para la partícula libre esta función de onda tiene una función propuesta:
Ψ ( x,t ) = ei( kx−ω t ) ∂Ψ ( x,t ) = ikei( kx−ω t ) ∂x ∂Ψ ( x,t ) = −iω ei( kx−ω t ) ∂t ∂ 2 Ψ ( x,t ) = −k 2 ei( kx−ω t ) ∂x 2 ∂ 2 Ψ ( x,t ) = −ω 2 ei( kx−ω t ) ∂t 2 −ak 2 + bik + d = −eiω − f ω 2

Sustituyendo en la ecuación de onda:Comparando con la ecuación de la energía:
a=  2m b=0 d = Vo e=−  i

2 2 k + Vo = ω 2m
f =0

Así, se propone que la ecuación diferencial unidimensional que cumplen los sistemas cuánticos es:
∂Ψ ( x,t )  2 ∂ 2 Ψ ( x,t ) − + V ( x,t ) Ψ ( x,t ) = i 2m ∂x 2 ∂t

Esta ecuación diferencial satisface las cuatro suposiciones hechas para la ecuación de onda mecánico-cuántica. En tres dimensionesla ecuación de Schrödinger es:
∂Ψ ( r,t ) 2 2 − ∇ Ψ ( r,t ) + V ( r,t ) Ψ ( r,t ) = i 2m ∂t

Donde ∇2 es el operador laplaciano. Interpretación de Born La función de onda establecida por Schrödinger contiene toda la información sobre la partícula asociada, compatible con el principio de incertidumbre. Para obtener esa información hay que relacionar Ψ (x,t) con las variables dinámicas de lapartícula asociada, por lo que existe una relación entre la función de onda Ψ(x,t) y la densidad de probabilidad P(x,t) de encontrar a la partícula en el entorno de ese punto. Sin embargo, es obvio que no podemos igualar una cantidad compleja como Ψ(x,t) con P(x,t) que es una magnitud real. La relación correcta fue propuesta por Max Born

Postulado de Born Si en el instante t se lleva a cabo unamedición para ubicar la partícula descrita por la función de onda Ψ(x,t), entonces la probabilidad P(x,t) de que esta se encuentre entre x y x+dx es:
P ( x,t ) =


Ψ ( x,t ) Ψ * ( x,t )

−∞

∫ Ψ ( x,t ) Ψ * ( x,t ) dx

Donde Ψ*(x,t) indica el complejo conjugado de Ψ(x,t), al término del denominador se le conoce como la norma y se representa por Nψ y debe cumplir:


NΨ =

−∞

∫Ψ ( x,t ) Ψ * ( x,t ) dx = 1
Nψ =

con
∞ −∞

Ψ ( x,t ) Ψ * ( x,t ) = Ψ ( x,t )
2

2

∫ Ψ ( x,t )

dx

En otras palabras, toda función de onda que represente el movimiento de una partícula debe ser de cuadrado integrable.

La cantidad ΨΨ*=Ψ2 es siempre real y por lo tanto mide de manera adecuada la probabilidad P(x,t). Pero esto no prueba la validez del postulado de Born, pues ΨΨ*no es la única función real que se puede obtener a partir de Ψ. Pero si Ψ satisface la ecuación de Schrödinger, Ψ* también la debe cumplir, por lo que se tiene:
 2 ∂2 Ψ ∂Ψ − + V Ψ = i 2 2m ∂x ∂t  2 ∂2 Ψ * ∂Ψ * − + V Ψ* = −i 2 2m ∂x ∂t

Multiplicando por Ψ* la ecuación A) y por Ψ la ecuación B)
2 ∂2 Ψ ∂Ψ − Ψ * 2 + V Ψ * Ψ = iΨ * 2m ∂x ∂t  2 ∂2 Ψ * ∂Ψ * − Ψ + V ΨΨ* = −iΨ 2 2m ∂x ∂t...
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