Fisica

Funciones vectoriales de una variable real
Este capítulo combina el Álgebra vectorial con los métodos del Cálculo y describe algunas aplicaciones al estudio de curvas y algunos problemas de Mecánica. El concepto de función vectorial es fundamental en este estudio.
DEFINICIÓN. Una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo recorrido es un subconjunto del espacio n-dimensionalVn se denomina función vectorial de una variable real.
Hemos encontrado tales funciones en el capítulo 13. Por ejemplo, la recta que pasa por un punto P y es paralela a un vector no nulo A es el recorrido de la función vectorial X dada por x(t) = P + fA para todo real t.
Las funciones vectoriales se designarán con letras mayúsculas cursivas tales como F, G, X, Y, etc., o mediante letrasminúsculas cursivas negritas f, g, etc.
El valor de una función F en t se designa, corrientemente, por F(t). En los ejemplos que estudiaremos, el dominio de F será un intervalo que puede contener uno o dos extremos o que puede ser infinito.
14.2 Operaciones algebraicas. Componentes
Las operaciones usuales del Álgebra vectorial pueden aplicarse para combinar dos funciones vectoriales o una funciónvectorial con una función real. Si 627628 Cálculo con funciones vectoriales
F Y G son funciones vectoriales, y si u es una función real, teniendo todas un dominio común, definimos nuevas funciones F + G, uF, y F' G mediante
(F + G)(t) = F(t) + G(t) , (uF)(t) = u(t)F(t) , (F' G)(t) = F(t)· G(t) .
La suma F + G y el producto uF son vectoriales, mientras que el producto escalar F . G es real. Si F(t} YG(t} están en el espacio de 3 dimensiones, también podemos definir el producto vectorial F X G con la fórmula
(F X G)(t) = F(t) x G(t).
La operación de composición puede aplicarse para combinar funciones vectoriales con funciones reales. Por ejemplo, si F es una función vectorial cuyo dominio contiene el recorrido de una función real u, la función compuesta G = F o u
es una nueva funciónvectorial definida por
G(t) = F[u(t)]
para cada t en el dominio de u.
Si una función F tiene sus valores en V n, cada vector F(t} tiene n componentes, y podemos escribir
F(t) = (fl(t),f¿(t)" ... ,fnCt» .
Así pues, cada función vectorial F origina n funciones reales t., ... , i« cuyos valores en t son los componentes de F(t}. Indicamos esta relación escribiendo
F = (/1' ... , fn), y llamamos /k elk·ésimo componente de F.
14.3 Límites, derivadas, e integrales
Los conceptos fundamentales del Cálculo, tales como límite, derivada e integral, .también pueden extenderse a las funciones vectoriales. Expresamos sencillamente la función vectorial en función de sus componentes y realizamos las operaciones del cálculo sobre los componentes.
DEFINICIÓN. Si F = (/1> ... , fn) es una funciónvectorial, definimos el límite, la derivada y la integral por
lirn f(t) = (lirnf1(t), ... , lirnfT/(t}) , t-+p t-'P t-1J
F'(t} = (f{(t), ... ,f~(t», f F(t) dt = U:fl(t) dt, ... ,I: fit) dt) , siempre que los componentes de los segundos miembros tengan sentido.Límites, derivadas e integrales 629
Decimos también que F es continua, derivable o integrable en' un intervalo si cada componente de F tiene lacorrespondiente propiedad en el intervalo.
A la vista de esas definiciones, no puede sorprender encontrar que muchos de los teoremas sobre límites, continuidad, derivación, e integración de funciones reales también son válidos para funciones vectoriales. Vamos a establecer algunos de los teoremas que utilizamos en este capítulo.
TEOREMA 14.1. Si F, G, Y u son derivables en un intervalo, lomismo Ocurre con F + G, uF, y F' G, Y tenemos
(F + G)' = E' + G', (uF)' = u'F + ul", (F' G)' = F'· G + F' G'.
Si F Y G tienen los valores en V3 también tenemos
(F x G)' = E' x G + F x G'.
Demostración. Para ver la marcha de las demostraciones discutimos la fórmula para (uF)'. Las demostraciones de las otras son parecidas y se dejan como ejercicios para el lector.
Escribiendo F = (/" ... ,...