Fisicos

 Ejercicios resueltosEn los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: |
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S o l u c i o n e s
 

| |

Sustituyendo estos valores en (1), seobtiene:

 

| (Fig.1) |

Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene:

 

 
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| |

 

Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones queinvolucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:
con y 
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra quecontiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
A .        El integrando contiene una función de la forma con Se hace el cambio de variable escribiendo
donde 
Si entonces 
Además: 
pues y como
entonces por lo que 
Luego: 
Como entonces 
Para este caso, las otras funciones trigonométricas puedenobtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:
1. | |

Sea con 

Luego: 

Sustituyendo:

Como entonces y 
Además por lo que 
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de lafigura siguiente:

Por último:

2. | |
Sea 

Luego 

Sustituyendo

Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
| |   |
Luego:

3. ||
Sea 

Además: 

Sustituyendo:

4. | |
Sea 

Luego 

Sustituyendo

pues y 
También puede utilizarse:

5. |   Ejercicio para el estudiante |
6. |         Ejercicio para elestudiante |
7. |            Ejercicio para el estudiante |
B)             El integrando contiene una expresión de la forma con 
Hacemos un cambio de variable escribiendo donde y Si entonces 
Además 

Como y entonces es positiva
y por tanto 
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

         Ejemplos:
1. | |
Sea 

Luego: ...