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1.1 Coordenadas cartesianas.
Historia
Se denominan plano cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: el sistema de referenciacartesiano, para poder representar la geometría plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesianas de un vector son equivalentes a la resolución de sus vértices.
Sistema de coordenadas lineal.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un número real, positivo si estásituado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensión uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x:
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial dedimensión uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones también se llama recta real (fig.1.1.)

Fig.1.1.1 Recta
Sistema de coordenadas plano.
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos números: (x, y) las coordenadas del punto,llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes cartesianos.
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y =0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo;así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas (fig. 1.2)

Fig. 1.1.2 Sistema de coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) comoaquellos paralelos a los ejes y de módulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posición del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA

La posición del punto A será:

Nótese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posición de un punto como las componentes de un vector en notación matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendrá dadapor la expresión:

Aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definirá restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el módulo del vector AB será la distancia dAB entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial.
Si tenemos un sistema de referencia formadopor tres rectas perpendiculares entre sí (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres números: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente (fig. 1.3).


Fig. 1.1.3 Coordenadas cartesianas espaciales
Losplanos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho octantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.
La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

Las coordenadas del...
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