Fluidos Compresibles

9. Flujo de Fluidos compresibles.
Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la dirección
del flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, para
un sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si su
densidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo de
gases a presiones atmosféricas o superiores, puededesarrollarse en régimen
laminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000.
Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal.
Se cumple:

p

ρ

p1

=

ρ1

=

p2

ρ2

= cte. =

RT
M

ρ=

ρ1
p1

⋅p

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1 y p2,
ρ2 respectivamente.

Figura 9.1. Flujo isotérmico de ungas ideal en una cañería horizontal.

⎛ v2
d⎜
⎜ 2g
⎝c
⎛ v2
d⎜
⎜ 2g
⎝c

⎞ dp
⎟+
⎟ ρ + dh f = 0
⎠

(9.1)

⎞ dp
dx v 2
⎟+
+f⋅ ⋅
=0
⎟ρ
D 2gc
⎠
2

/⋅

2gc
v2

dx
dv 2 g c dp
+ 2⋅
+f⋅
=0
ρ
D
v
v

(9.3)

Por continuidad.
G = v⋅ρ = cte.
dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0
dv
dρ
=−
,
ρ
v

dρ =

ρ1
p1

⋅ dp

ρ=

ρ1
p1

⋅p

dρ

ρ

=

dp
p

(9.2)dv
dp
=−
v
p

2 g c dp
⋅,
v2 ρ
G = v⋅ρ

G2 = v2 ⋅ ρ 2

v2 =

G2

ρ

2 g c dp 2 g c ρ1
⋅
=2
pdp
G p1
v2 ρ

2g c
ρdp
G2

2

Reemplazando en balance de energía:

−2

dx
dp 2 g c ρ1
+2
=0
pdp + f ⋅
D
p G p1

(9.4)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L:
dp 2 g c ρ1
+
p G 2 p1
p1

p2

p2

L

1
dx = 0
D∫
0

(9.5)

⎛p ⎞ gρ
L
2
− 2 ln⎜ 2 ⎟ + c2 1 p 2 − p12 + f
=0
⎜p ⎟ G p
D
⎝ 1⎠
1

(9.6)

− 2∫

∫ pdp + f

p1

[

]

Se define N = número de alturas de velocidad, N = f

L
D

⎛ p ⎞ gc M
2
2
− 2 ln⎜ 2 ⎟ + 2
⎜ p ⎟ G RT p 2 − p1 + N = 0
⎝ 1⎠

[

2

]

⎛p ⎞
gc M
2
N − ln⎜ 2 ⎟ = 2
p12 − p 2
⎜p ⎟
G RT
⎝ 1⎠

[

]

(9.7)

(9.8)

Ecuación general para el flujo másicosuperficial de un gas ideal isotérmico:

[

]

2
gc M
p12 − p 2
G=
2
RT ⎡
⎛ p2 ⎞ ⎤
⎢ N − ln⎜ ⎟ ⎥
⎜p ⎟
⎢
⎝ 1⎠ ⎥
⎣
⎦
2

Ecuación particular si se cumple:
⎛p ⎞
N >> ln⎜ 2 ⎟
⎜p ⎟
⎝ 1⎠

2

(9.9)

Ecuación de Weymouth:

G2 =

[

gc M 2
2
p1 − p 2
RTN

]

(9.10)

Según la ecuación general (9.9), en un comienzo si p2 disminuye G2 aumenta. Se
cumple queindistintamente para p2 →p1, G2→0, y para p2→0, G2→0. Lo
anterior indica la existencia de un valor máximo para G2 asociado con un valor
de p2 crítico p2*.

Figura 9.2. Flujo másico superficial en función de la presión de salida p2.
La región entre 0 < p < p2* es ficticia, ya que una vez que la presión de salida p2
alcanza el valor crítico p2* no se obtiene un flujo mayor.
La presión p2* crítica seobtiene derivando la ecuación general con respecto a p2
para un p1 fijo según:
dG 2
=0
dp 2
2

(9.11)

2

⎛p ⎞
⎛ p1 ⎞
⎜ ∗ ⎟ − ln⎜ 1 ⎟ = N + 1
⎜ p* ⎟
⎜p ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠

(9.12)

Resolviendo para p2*. Gmáx2 correspondiente obedece a la ecuación:
2
Gmáx =

()

gc M *
p2
RT

2
Gmáx =

2

=

g c ρ1 *
p2
p1

()

g c ρ1 p1
gρp
1 + N + ln c 21 1
Gmáx

2

(9.13)(9.14)

También se puede demostrar que:
**
**
G máx = g c p 2 ρ 2 = ρ 2 v 2

(9.15)

La correspondiente velocidad de salida será:
*
g c p2

*
v2 =

(9.16)

*
ρ2

La cual se puede interpretar como la velocidad de una hipotética onda de
sonido isotérmica a las condiciones de salida, dado que se dispone de las
siguientes relaciones para la velocidad del sonido y un gasideal:
p

g c dp
dρ

c=

=

ρ

RT
M

Así, la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica está dada por:

c=

g c RT
M

(9.17)

En la práctica, sin embargo, las ondas circulan en forma isentrópica, y la
velocidad del sonido es:

c=

Donde, k =

kg c RT
M

(9.18)

cp
cv

Flujo adiabático de un gas ideal a través de una cañería horizontal.
Se cumple:...