Fluidos

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Universidad de Chile
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Departamento de Ingeniería Civil
CI3101-1 Mecánica de Fluidos 2011

Tarea 1 Mecánica de fluidos Movimiento de un pistón

Profesor: Aldo Tamburrino
Auxiliar: Hugo Ulloa
Integrante: Gerardo Zegers
Fecha: 28/10/11

i) Determinar la ecuación diferencial que define el movimiento del pistón
Tenemos 3 fuerzas actuando sobreel pistón:
fp,frv,fpa
1-Determinemos primero la fuerza que hará la presión (fp) cuando se corte la cuerda.
Sabemos que pv=nrt , en este caso la tº se mantiene constante, entonces: p1v1=cte , inicialmente p1=p1 y v1=πD2L4, por lo tanto cte=πD2L4p1.
Cuando la cuerda se corte el volumen, en el que cual se encuentra el gas, aumentara en función de x . El volumen será: v=πD24(l+x) y p=ctev , porlo tanto p=lp1l+x
Ahora, sabemos que P=FA , donde A=πD24
∴fp=πD2l4p1l+x
2-Determinemos ahora la fuerza de roce viscoso (frv)
Sabemos que: τ=μ ∙∆u∆y , entonces τ=μxe. También τ=frvS
∴frv=πDlpμxe
3-Por ultimo determinemos la fuerza que ejerce la presión atmosférica (fpa)
fpa=patmπD24
Como ya conocemos todas las fuerzas, usando la ecuación de newton mx=F, nos queda:
mx=πD2l4p1l+x -πDlpμxe - patmπD24

ii) Considerando que la presión del aire en el lado izquierdo del tubo es mucho mayor que la atmosférica, simplificar la ecuación obtenida en i) y determinar la velocidad del pistón en función de la distancia

Si consideramos para la resolución que la presión del aire en el lado izquierdo es mucho mayor que la atmosférica, el termino patmπD24 se desprecia, por lo que laecuación de movimiento ahora nos queda :

mx=πD2L4p1l+x - πDlpμxe
Sea a=πD2Lp14m y b=πDlpμem, por lo que nos queda

x=al+x - bx

Sabemos que , si aplicamos esta formula a nuestra ecuacion nos queda:

vdvdx=al+x - bx
Sea w=l+x ,donde dw=dx y como x=v , nos queda:
vdvdw=aw - bv
Resolviendo esta ecuación en Wolframalpha nos queda:Aplicando condiciones de borde, w0=l y v0=0 obtenemos c1
c1=π2 erfibl2a-ae(bl)22abl
Entonces la ecuación final es:
-bwa=2e(bw+vw2a)22π2 erfibl2a-aebl22abl-2πerfi(bw+vw2a)
iii) Determinar la velocidad del pistón en función de la distancia si no existe una
película de fluido y no hay roce entre el pistón y la pared del cilindro

Si no hay roce la ecuación nos queda:

x=al+x -patmπD24m

Aplicando condiciones de borde, donde v0=0 y x=0 nos queda que c1:
c1=alogl+bl

∴vx=2alogl+xl-bx
iv) Graficar en un mismo gráfico los resultados obtenidos en ii) y iii). Comparar y discutir la validez de los resultados

Para realizar los gráficos le asignaremos valores reales a las constantes entregadas en el problema.
Sea l=0. 5m ,lp=0.2m , m=1kg , D=0.2m , e=0.05m ,μ=0.1kgms,p1=1.000.000kgm2
Con estos valores queda que:
a=15708 y b=0.2513
Veamos primero para el resultado obtenido en ii).
En ii) teníamos que:
-bwa=2e(bw+vw)2a22π2 erfibl2a-aebl22abl-2πerfi(bw+vw2a)
Tenemos una ecuación del tipo w=F(bw+v) , definamos z=bw+v, lo que nos queda:
-bwa=2ez22a2π2 erfibl2a-aebl22abl-2πerfi(z2a)


Remplazando los valores de a y b, nos quedaw=498.7532ez2314161994.71+2πerfi(z177.246)
w=F(z)
x=w-l, l=0.5m
v=z-bF(z)
Usando estos valores y tomando valores de z, creamos la tabla Nº1 que nos da los valores de x,v.
Con estos datos podemos crear un grafico punto a punto y unirlos para obtener una aproximación del comportamiento de la velocidad en función de x, obteniendo el siguiente grafico.

Grafico Nº1





Analicemos ahorael caso iii), donde no existe roce viscoso.
vx=2alogl+xl-bx
Usando los mismos valores anteriores tenemos que:
a=15708 y b=0.2513, por lo tanto
vx=215708logl+xl-0.2513x
Con estos datos creamos la tabla Nº2 que nos da los valores de x,v.
Con estos datos podemos crear un grafico punto a punto y unirlos para obtener una aproximación del comportamiento de la velocidad en función de x,...
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