Flujo de calor

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TRABAJO DE MODELACION MATEMATICA


REALIZADO POR:

ING. FELIPE ISMAEL SALDAÑA GARCIA

AZOGUES - ECUADOR

Problema
Una cama empacada se encuentra a temperatura uniforme y en un instantedado comienza a intercambiar calor a través de las paredes. El transporte radial de calor viene dado por:
jT/jt = (ke/ρCp) [j2T/jr2 + (1/r) jT/jr]

z
r
R
L

z
r
R
L
ke: conductividad térmicaefectiva de la cama
a) Obtenga el modelo matemático
b) Obtenga la expresión equivalente en diferencias finitas
c) Obtenga la evolución de la temperatura de la cama si:
R = 0.05 m
ke = 8.2110-3 kW/m K
Cp = 2.25569 kJ/Kg K
r = 0.77 kg/m3
L>>> R
Condiciones de frontera:
Para t = 0 T (0, r) = 100 °C, y para T (t, R) = 300 °C

Solución:
a) Modelo matemáticoDe acuerdo al problema la cama se encuentra a una temperatura uniforme y en un instante de tiempo comienza a intercambiar calor a través de las paredes; de acuerdo a esta situación física sedetermina que no hay flujo de masa, ni cinética de movimiento, lo único que hay es intercambio de energía.
Para describir el intercambio de energía que existe en la cama se ha tomado un modelo microscópicoy se plantea la siguiente ecuación en coordenadas cilíndricas:

ρ.Cp [jT/ jt + vr jT/jr + vq/r jT/jq + vz jT/jz] =k [ 1/r d (r jT/jr)/jr+ 1/r2 j2T/jq2+j2T/jz2] + SR (1)

de la ecuación (1) setiene que no hay transporte por convección, o sea vr jT/jr + vq/r jT/jq + vzjT/jz es igual a cero; no hay transporte por difusión en la dirección q y en Z, además no hay fuente de generación de calorinterna y solo hay flujo de calor en la dirección de r; con lo que la ecuación (1) se puede escribir como:

(2)
Sabiendo que:
(3)
Sustituyendo (3) en la ecuación (2) se obtiene

Laúltima ecuación es el modelo matemático del problema propuesto.

b) Expresión equivalente en diferencias finitas
(1)
Para la solución de la ecuación...
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