Flujo potencial

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UNIVERSIDAD DE CHILE DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL ______________________________

CI31A – MECÁNICA DE FLUIDOS Prof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS

CI31A – MECÁNICA DE FLUIDOS Prof. ALDO TAMBURRINO TAVANTZIS

FLUJO POTENCIAL BIDIMENSIONAL
(continuación)

RESUMEN DE LA CLASE ANTERIOR

r r Si un flujo es irrotacional, ∇ × V = 0 , entonces existe una función escalar φ tal que V = ∇φ . Deeste modo para el caso 2-D se tiene que:
u= ∂φ ∂x v= ∂φ ∂y

La ecuación de continuidad para un fluido incompresible en términos de la función potencial φ está dada por:
∇2φ = 0

La función φ = constante se denomina línea equipotencial. Superposición: Por ser la ecuación de Laplace lineal, se cumple que si φ 1 y φ 2 son soluciones de la ecuación de Laplace, entonces φ = φ 1 + φ 2 también loes. De acá resulta que el campo de velocidades r r también se puede superponer, o sea si V1 deriva de φ 1 y V2 deriva de φ2 , entonces r r r V = V1 + V2 . En coordenadas polares:

1 ∂  ∂φ  1 ∂ 2 φ ∇ φ= =0 r  + r ∂r  ∂r  r 2 ∂θ 2
2

ur =

∂φ ∂r
-1 -

uθ =

1 ∂φ r ∂θ

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Las líneas de corriente se definen como las tangentes al vector velocidad. DE proporción de triángulos resulta:

r V
dx dy u

v

u dx = v dy

Línea de corriente

udy − vdx = 0

Definamos una función ψ. Si la función es constante, entonces dψ = 0. O sea:

dψ =
De donde resulta que:
u=

∂ψ ∂ψ dx + dy = 0 ∂x ∂y

∂ψ ∂y

v=−

∂ψ ∂x

Lafunción ψ se denomina función de corriente. En un flujo irrotacional se cumple que términos de la función de corriente resulta:
∇2ψ = 0

ωz =

∂u ∂v − = 0 . Al expresar la vorticidad en ∂y ∂x

Ecuaciones de Riemman:

u=

∂φ ∂ψ = ∂x ∂y
∂φ 1 ∂ψ = ∂r r ∂θ

v=

∂φ ∂ψ =− ∂y ∂x
1 ∂φ ∂ψ =− r ∂θ ∂r

En coordenadas polares:

ur =

uθ =

Las líneas equipotenciales y las de corrienteson perpendiculares entre sí. ψ2 q ψ1 El caudal (2D) que escurre entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia de las funciones de corriente: q = ψ 2 - ψ 1 .

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Determinación del campo de velocidades y condiciones de borde Paradeterminar el campo de velocidades de cualquier flujo debe resolverse la determinación de Laplace para φ o para ψ con las condiciones de borde adecuadas. Conocida φ (o ψ), se determina el campo de velocidades por simple derivación. Las condiciones de borde típica son: Condición de borde en el infinito:
r r x, y → ± ∞ ; V → V∞

Por ejemplo, si se desea conocer el campo de velocidades en torno a uncuerpo sumergido r en un flujo tal que V∞ = (U ,0 ) , las condiciones de borde serán:
x → ±∞ , ∀y ; u → U , v = 0

En términos de la función potencial x → ±∞ , ∀y ; En términos de la función de corriente:

∂ψ →U ∂y

∂φ →U , ∂x ∂ψ , =0 . ∂x

∂φ =0 ∂y

Condición de borde en una frontera sólida impermeable en reposo: r ˆ ˆ La velocidad normal a la frontera debe ser nula, o sea V ⋅ n = 0 ,donde n es la normal a la superficie. En términos de la función potencial, esta condición se escribe como:
ˆ ∇φ ⋅ n = ∂φ =0 ∂n

Para escribirla en términos de la función de corriente debemos recordar que la frontera es ˆ una línea de corriente. Si s es el vector tangente a la superficie que define la frontera, se tiene:
∂ψ =0 ∂s

o, lo que es lo mismo ψ = cte. a lo largo de la frontera.Conocido el campo de velocidades es fácil determinar la presión a partir de la ecuación de Bernoulli.

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EJEMPLOS DE FLUJOS POTENCIALES USUALES
FLUJO PARALELO UNIFORME φ = cte. y Consideremos un flujo uniforme paralelo al eje x con velocidad...
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