Focalización por polinomios de taylor

Matemáticas I Ingeniería Técnica Telecomunicación, UOC El polinomio de Taylor

Albert Gras i Martí, agm@ua.es Departament o de Física Aplicada, Universidad de Alicante Teresa Sancho Vinuesa , tsancho@uoc.edu Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación, UOC

Es más sencillo trabajar con polinomios
Supongamos que queremos calcular la raíz cuadrada de 1.12, o el seno de 1 radián, oel valor del número e:

1.12 = ? sin 1 = ? e1 = ?
Determinar el valor de una función f (x) en un punto x no siempre es fácil. Sí que lo es si esta función es, por ejemplo, la suma de un número y la variable, por ejemplo: 2+x o si es el producto de un número por la variable, por ejemplo: 3x o, incluso, si se trata de una potencia entera de la variable:

x2
También es sencillo el cálculo si setrata de una combinación de estas operaciones, como:

6x 2 + 2x − 2
es decir, si se trata de un polinomio. El cálculo del valor del polinomio en un punto sólo involucra operaciones elementales que sabemos hacer con lápiz y papel: sumar, multiplicar y hacer potencias. Así, si hemos de dar el valor de la función:

3x 3 - 7 x 2 + 5x - 1

Poliniomis de Taylor – Matemàtiques I, Eng. Teleco.,UOC. Programa-guia de l’alumne

(donde, como sabemos, el símbolo x quiere decir "x al cubo" y x es " x al cuadrado") en el punto 0.7 tendremos que calcular:

3

2

3x 3 - 7 x 2 + 5x - 1 = 30.7 3 - 7 0.7 2 + 5·0.7 - 1 = 3·0.343 - 7·0.49 + 3.5 - 1 = 0.099
El cálculo lo podemos hacer incluso a mano. Esto explica por qué los polinomios son tan importantes. Para el resto de funciones, no tenemosmodo de evaluarlas de manera sencilla en un punto cualquiera. En cambio, sí que conocemos los valores de las funciones en puntos concretos. Por ejemplo, sabemos que sin 0 = 0.

A1 (solución) Sin hacer ningún cálculo , decid unos cuantos valores de la s funciones siguientes en diferentes puntos: a) f ( x ) = sin x b) f ( x ) = e x c) f ( x ) = 1 + x

Conocemos determinados valores de todas lasfunciones con las que trabajamos habitualmente, sin embargo, no sabemos calcular la función para el resto de valores si no disponemos de una calculadora o de un ordenador.

Convertimos el cálculo de una función en el cálculo de un polinomio
Tal como acabamos de decir, supongamos que queremos calcular de manera

e x para x = 1. Podemos empezar por x representar gráficamente la función f ( x)= e mediante un applet.
aproximada el número e, es decir, la función Trabajamos el applet que encontraréis en http://cimanet.uoc.edu/matematiquesi/videos/ Fijamos n = 1 y nos colocamos en el punto x = 0. Ya conocemos el valor del exponencial en el punto x = 0, es e = 1. Podemos pensar que, para valores bastante cercanos a 0, el valor del exponencial será poco diferente del valor 1. De hecho,podríamos aproximar la función exponencial en torno del origen de coordenadas por una recta horizontal, la función constante igual a 1: e ˜
x 0

p 0 ( x) = 1 , para valores de x ˜ 0
0.2

(1) ˜ 1 no es una buena aproxi-

Está claro que para x = 0.2, por ejemplo, el valor e mación.

2

Poliniomis de Taylor – Matemàtiques I, Eng. Teleco., UOC. Programa-guia de l’alumne

Observamos quepodemos aproximar mejor la función exponencial alrededor del punto x = 0 por una recta que sea tangente a esta función en este punto; es decir, x que en lugar de trabajar con la función e trabajamos con una recta: a + bx Para poder determinar de qué recta se trata, hemos de definir los valores de los dos parámetros a y b. Necesitamos, pues, dos condiciones. Seguimos con el valor n = 1 en el applet.Escribimos la recta como:

p1 ( x ) = a + bx

(2)

y queremos que en el punto x = 0 la recta tenga el valor f(0), y que en este mismo punto x = 0, la recta tenga la misma pendiente que la función exponencial; entonces debemos hacer:

p1 (0) = f ( 0) p1 ' ( 0) = f ' ( 0)

(2a)

A2 (solución) Calculad los valores de a y de b en la recta (2) a la vista de las dos condiciones (2a).

Y,...