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0.1

Ejercicios para el curso de fundamentos de matem´ticas a Elaborado por: Mar´ Monserrat Mor´ ıa ın Castillo

1. Utilizando una tabla de verdad para cada una de las siguientes, determina cual de ellas son tautolog´as. ı (a) (P ∧ Q) ⇒ (P ∨ Q) (b) (P ∨ Q) ⇒ (P ∧ Q) (c) [(P ⇒ Q) ∧ P ] ⇒ Q (e) (Q ⇒ P ) ⇒ (P ⇒ Q) (f) [P ∨ Q) ∼ P ] ⇒ Q

(d) [(P ⇒ Q) ∧ Q] ⇒ P

(h) ∼ (P ⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P ) (i) (P⇒ Q) ⇒ (Q ⇒ P ) (k) (P ⇔ Q) ⇔ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )] (l) (P ⇒ Q) ⇔ (∼ P ∧ Q) (m) (P ⇒ Q) ⇒ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )] (o) (P ∨ Q) ⇔ (P ∧ Q) (n) [(P ⇒ (Q ⇒ R)] ⇒ [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)] (p) (P ∧ Q) ⇔ (P ∨ Q) (j) (P ) ⇔ P

(g) ∼ (P ∧ Q) ⇒ (P ∨ Q)

(q) [(P ∧ Q) ⇒ P ] ⇔ P 1

2. Determine cual de las siguientes proposiciones son del tipo ∀x ∈ U : p(x) o ´ ∃x ∈ U : p(x) precisando el conjunto universal y laproposici´n abierta p(x), y expreselas simbolicamente. o (a) Cualquier d´ es bueno para estudiar. ıa (b) Cada comerciante pretende sacar ganancia de la crisis. (c) Cualquier hombre, si trabaja, se agota. (d) Todo tri´ngulo que tiene sus tres lados iguales es equil´tero. a a (e) Alg´n tri´gulo puede ser equil´tero y no tener sus tres lados u a a iguales. (f) Cada par de rectas, si son paralelas, nose intersectan. (g) Puede haber dos rectas no paralelas que se corten en m´s de un a punto. (h) Ning´n hombre vive m´s de 50 a˜os. u a n (i) Algunos n´meros naturales son positivos. u (j) Hay alg´n punto en el plano tal que cualquier recta pasa por ´l. u e (k) Para cualquier n´mero positivo, hay un natural que es mayor que u ´l. e (l) Todos los n´meros reales cumplen que su cuadrado es positivo. u(m) Nunca sucede que el cuadrado de un entero sea 1 . 3 (n) Cuando se sufre se valoran m´s las cosas a (o) Si no trabajo, no tendr´ el auto nuevo que siempre he deseado. e (p) Los estudiantes del curso de fundamentos de matem´ticas han a trabajado mucho. (q) Todos los alumnos que presentaron el examen departamental aprobaron. 2

(r) Algunos estudiantes no aprobaron el examen de admisi´n a la oUniversidad. (s) Todos los alumnos pueden aprobar el examen. (t) Algunos estudiantes tendr´n que repetir el curso. a (u) Alg´n estudiante sacar´ 10 en el examen final. u a 3. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: (a) Todo estudiante de esta escuela naci´ en Puebla. o (b) Cada vez que sumamos dos n´meros impares obtenemos un n´mero u u impar. (c) Todo entero es par y primo.(d) Si un n´mero es par entonces es igual a 1. u (e) Si un n´mero es par, al sumarle uno se vuelve impar. u 4. Exprese las siguientes proposiciones en la forma abierta: p(x) (a) Cada comerciante pretende sacar ganancia de la crisis. (b) Algunos n´meros naturales son positivos. u (c) Para cualquier n´mero positivo, hay un natural que es mayor que u ´l. e (d) Si un n´mero es par entonces es igual a1. u (e) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , ∀x ∈ U : x es impar

(f) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ∀x ∈ U : x es mayor que cero y menor que

(g) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ∃x ∈ U : x es mayor que 11. (h) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ∃x ∈ U : x es m´ltiplo de 2. u 3

(i) Todos los alumnos aprobaron el curso de fundamentos de matem´ticas a elcuatrimestre anterior (j) El cuadrado de cualquier n´mero real siempre es positivo o cero. u (k) Un tri´ngulo es equil´tero si tiene todos sus lados iguales y sus a a a ´ngulos iguales (l) Todas las proposiciones anteriores son verdaderas. (m) Un n´mero par se escribe de la forma 2k donde k ∈ Z. u 5. ¿Cual de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes? (a) Todas las personas oyen consejo, o nollegan a viejos. cada persona que oye consejo llega a viejo. (b) ∀x ∈ Z : x2 6= 1 ⇒ x2 + 1 6= 2 e(∃x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)

(d) ∀x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 = 2 ∀x ∈ Z : es falso que x2 = 1 ⇒ x2 = 0 (e) ∀x ∈ R : x2 − 1 ⇒ x = ±1 ∀x ∈ R : x2 = 1 ⇒ x2 = 1 ± 1

(c) ∃x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 6= 2 e(∀x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2)

6. Diga si en las siguientes parejas de proposiciones, son una...
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