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FormulaEcuaciones Homogéneas: M(x, y)dx + N(x, y)dy=0
f(tx, ty)= tnf(x, y)
y=vx dy= vdx + xdv
x=vy dx= vdy + ydv
Exactas: M(x, y)dx + N(x, y)dy=0
si:∂M∂y=∂N∂x 1=Mdx2=∂(1)∂y (3)= N- (2)
(4)3dy (5)= (1) + (4) = C
Factor Integrante (Convertibles): M(x, y)dx + N(x, y)dy=0
si:∂M∂y≠∂N∂x ∂M∂y-∂N∂x N=fx μ=efxdxμ*(EDO) ∂M∂y-∂N∂x M=fy μ=e-fydy
Ecuaciones Lineales:
dydx+Pxy=Qx μ=ePdx y=1μμQdx+C
Ecuaciones Bernoulli:
dydx+Pxy=Qxyn μ=e(1-n)Pdxy(1-n)=1μμQdx+C
Ecuaciones de 2º orden reducibles a 1º:
Caso 1) E. D. no tiene a y
d2ydx2=fx,dydx 1º.- se sustituye: P=dydx dPdx=d2ydx2
2º.-se resuelve 3º.- se sustituye: P=dydx4º.-se resuelve
Caso 2) E. D. no tiene a x
d2ydx2=fy,dydx 1º.- se sustituye: P=dydx d2ydx2=dPdx=PdPdy
Caso 3) La E. D. no tiene x y la (y’)2
y’’=f[y,(y’)2] (y’)2=udy'2dx=dudx d2ydx2=12dudy
Ec. De Clairaut:
y=xy’+f(y’) 1º.- se sustituye: y’=P 2º.- Se deriva y
3º.- Se eliminan las P 4º.- Se factoriza dPdx
5º.-Se =0 ambos términos 5º.- Se obtiene sol. Gral. y Sol. Part.
Ec. De Lagrange::
y=xf(y’)+g(y’) 1º.- se sustituye: y’=P
Ec. De Ricatti:
dydx+Pxy=Qxyn+R(x) 1º.- se sustituye: y = ypart+ Z
1º.- dydx 3º.- Se sustituyen 1º y 2º en Ec. dada
4º.- Se integra y se despeja Z 5º.- Se sustituye Z en 1º
Trayectorias ortogonales:
1º.- Despejar para C 2º.-derivar 3º.- despejar para dydx
4º.-Encontrar el reciproco negativo solo de un lado de =
5º.- Integrar
Ley de Enfriamiento:
dTdt∝(T-Tm) dTdt=k(T-Tm) dTT-Tm=kdtln[T-Tm]=kt+c T-Tm=ekt+c
T-Tm=Aekt T=Tm+Aekt
Ley de Crecimiento y Decrecimiento:
dPdt∝P dPdt=kP dPP=kdT
lnP=kt+c...
f(tx, ty)= tnf(x, y)
y=vx dy= vdx + xdv
x=vy dx= vdy + ydv
Exactas: M(x, y)dx + N(x, y)dy=0
si:∂M∂y=∂N∂x 1=Mdx2=∂(1)∂y (3)= N- (2)
(4)3dy (5)= (1) + (4) = C
Factor Integrante (Convertibles): M(x, y)dx + N(x, y)dy=0
si:∂M∂y≠∂N∂x ∂M∂y-∂N∂x N=fx μ=efxdxμ*(EDO) ∂M∂y-∂N∂x M=fy μ=e-fydy
Ecuaciones Lineales:
dydx+Pxy=Qx μ=ePdx y=1μμQdx+C
Ecuaciones Bernoulli:
dydx+Pxy=Qxyn μ=e(1-n)Pdxy(1-n)=1μμQdx+C
Ecuaciones de 2º orden reducibles a 1º:
Caso 1) E. D. no tiene a y
d2ydx2=fx,dydx 1º.- se sustituye: P=dydx dPdx=d2ydx2
2º.-se resuelve 3º.- se sustituye: P=dydx4º.-se resuelve
Caso 2) E. D. no tiene a x
d2ydx2=fy,dydx 1º.- se sustituye: P=dydx d2ydx2=dPdx=PdPdy
Caso 3) La E. D. no tiene x y la (y’)2
y’’=f[y,(y’)2] (y’)2=udy'2dx=dudx d2ydx2=12dudy
Ec. De Clairaut:
y=xy’+f(y’) 1º.- se sustituye: y’=P 2º.- Se deriva y
3º.- Se eliminan las P 4º.- Se factoriza dPdx
5º.-Se =0 ambos términos 5º.- Se obtiene sol. Gral. y Sol. Part.
Ec. De Lagrange::
y=xf(y’)+g(y’) 1º.- se sustituye: y’=P
Ec. De Ricatti:
dydx+Pxy=Qxyn+R(x) 1º.- se sustituye: y = ypart+ Z
1º.- dydx 3º.- Se sustituyen 1º y 2º en Ec. dada
4º.- Se integra y se despeja Z 5º.- Se sustituye Z en 1º
Trayectorias ortogonales:
1º.- Despejar para C 2º.-derivar 3º.- despejar para dydx
4º.-Encontrar el reciproco negativo solo de un lado de =
5º.- Integrar
Ley de Enfriamiento:
dTdt∝(T-Tm) dTdt=k(T-Tm) dTT-Tm=kdtln[T-Tm]=kt+c T-Tm=ekt+c
T-Tm=Aekt T=Tm+Aekt
Ley de Crecimiento y Decrecimiento:
dPdt∝P dPdt=kP dPP=kdT
lnP=kt+c...
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