formulario mecanica de hilos

MECÁNICA DE HILOS. PROBLEMAS RESUELTOS
1. Los puntos A y B del puente colgante representado en la figura distan 40 m. La flecha
en su centro es de 5 m. Los cables pueden resistir una tensión máxima de 44,72 kN.
Determinar:
a) Tensión mínima y la carga q distribuida uniformemente según la horizontal que puede
resistir
b) Componentes vectoriales de la tensión en los puntos A y B

A

B
fy0

Datos:
TA = TB = 44,72 103 N
L= 40m; x = L/2=20 m
f = y-y0 = 5m

RESOLUCIÓN
a) La parábola del puente colgante viene dada por la expresión:
‫ ݕ‬െ ‫ݕ‬଴ ൌ

௤
ଶ்బ

‫ݔ‬ଶ; 5 ൌ

௤
ଶ்బ

ሺ20ሻଶ ; de donde ܶ଴ ൌ 40 ‫ ;ݍ‬cumpliéndose ܶ஺௫ ൌ ܶ஻௫ ൌ ܶ଴

Cada componente vertical de la tensión soporta la carga de medio puente:
௅

ܶ௬ ൌ ‫ ݍ‬ൌ 20 ‫ ;ݍ‬A partir del módulo de la tensión seobtiene la carga:
ଶ

ଶ
ଶ
ܶ ଶ ൌ ܶ஺௫
൅ ܶ஻௫
;

2000 ൉ 10଺ ൌ ሺ400 ൅ 1600ሻ‫ݍ‬ଶ ; ՜ ‫ ݍ‬ൌ 10ଷ ܰ

Por lo que ܶ଴ ൌ 4 ൉ 10ସ ܰ;

ܶ௬ ൌ 2 ൉ 10ସ ܰ

b) Los vectores de la tensión en los puntos A y B quedan:
ସ
ସ
ሬሬሬሬԦ
ܶ
஺ ൌ െ4 ൉ 10 ଓԦ ൅ 2 ൉ 10 ଔԦ

ሬሬሬሬԦ
ܶ஻ ൌ 4 ൉ 10ସ ଓԦ ൅ 2 ൉ 10ସ ଔԦ
2. La figura representa un tramo de un tendido eléctrico cuyo peso por unidad de
longitud es p=50 N/m. Latensión mínima es de 0,4 kN. La distancia entre A y B es 11m.
Calcular:
a) Altura de los postes
b) Tensión máxima (módulo y vector)
c) Flecha (f)
d) Longitud del cable entre A y B

RESOLUCIÓN
A

B

f

a) La altura de los postes (y) se obtiene a partir de la ecuación de la catenaria referida a
sus propios ejes, calculando previamente el parámetro de la catenaria (a):
ܽൌ
௫

்బ
௣‫ ݄ܥ‬௔ ൌ

ൌ

ସ଴଴

ೣ

ହ଴

ൌ 8 ݉; para ‫ ݔ‬ൌ
ೣ

ష
௘ ೌ ା௘ ೌ

ଶ

ൌ

ଵ,ଽଽା଴,ହଵ
ଶ

ଵଵ
ଶ

௫

ହ,ହ

௔

଼

ൌ 5,5 ݉; ‫ ݕ‬ൌ ܽ ‫ ݄ܥ‬ൌ 8 ‫݄ܥ‬

ൌ 8 ൉ 1,25 ൌ 10 ݉

ൌ 1,25

b) EL módulo de la tensión máxima se calcula por la expresión:
ܶ௠á௫ ൌ ܶ஺ ൌ ܶ஻ ൌ ‫ ݌‬൉ ‫ ݕ‬ൌ 500 ܰ
La tensión mínima coincide con las componentes horizontales y las componentes
verticales seobtienen por:
ܶ௬ ൌ ඥܶ ଶ െ ܶ௫ଶ ൌ √25 െ 16 ൉ 10ଶ ൌ 300 ܰ, por lo que los vectores quedan:
ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ
ܶ஺ ൌ െ400 ଓԦ ൅ 300 ଔԦ; ܶ
஻ ൌ 400 ଓԦ ൅ 300 ଔԦ ሺܰሻ
c) La flecha (f) es: ݂ ൌ ‫ ݕ‬െ ܽ ൌ 10 െ 8 ൌ 2 ݉
d) La longitud del cable de cada uno de los tramos simétricos se obtiene a partir de:
‫ ݕ‬ଶ ൌ ܽଶ ൅ ‫ ݏ‬ଶ ; ‫ ݏ‬ൌ ඥ‫ ݕ‬ଶ െ ܽଶ ൌ 6 ݉; de donde ‫ݏ‬஺஻ ൌ 2‫ ݏ‬ൌ 12 ݉
Se puede comprobar que cada una de lastensiones verticales soporta el peso de medio
arco de catenaria ya que se cumple que:
ே
ܶ௬ ൌ ‫ ݌‬൉ ‫ ݏ‬ൌ 50 ௠ ൉ 6݉ ൌ 300 ܰ
3. La figura representa una catenaria asimétrica cuyo peso por unidad de longitud es
p=40 N/m. Conociendo el parámetro de la catenaria a=20 m, la diferencia de altura entre
los puntos A y B h=2m y la tensión en el punto B, TB = 103 N. Calcular:
a) Tensión mínima.
b)Flecha del arco simétrico AMC
c) Tensión en los puntos A, B y C (módulo y vector)
d) Longitud de los arcos AM y MB
Y
B
h
A
f
C
M
a
X

RESOLUCIÓN
a) La tensión mínima se obtiene de la expresión: ܶ଴ ൌ ‫ ݌‬൉ ܽ ൌ 800 ܰ
b) La flecha se obtiene a partir de la altura del punto B
‫ݕ‬஻ ൌ

்ಳ
௣

ൌ 25;

‫ݕ‬஻ ൌ ܽ ൅ ݂ ൅ ݄ ൌ 22 ൅ ݂;

݂ ൌ 3݉

c) El módulo de la tensión en los puntos A yC es el mismo por estar a la misma altura
ܶ஺ ൌ ܶ஼ ൌ ‫݌‬ሺܽ ൅ ݂ሻ ൌ 920 ܰ; ܶ஻ ൌ 1000ܰ.
Las componentes verticales se obtienen por:
ܶ஺௬ ൌ ඥܶ஺ଶ െ ܶ௫ଶ ൌ 454,3 ܰ; ܶ஻௬ ൌ ඥܶ஻ଶ െ ܶ௫ଶ ൌ 600 ܰ
Los vectores resultan:
ሬሬሬሬԦ
ሬሬሬሬԦ
ܶ
ܶ஼ ൌ 800 ଓԦ ൅ 454,3 ଔԦ; ሬሬሬሬԦ
ܶ஻ ൌ 800 ଓԦ ൅ 600 ଔԦ
஺ ൌ െ800 ଓԦ ൅ 454,3 ଔԦ;
d) Las componentes verticales permiten obtener la longitud de los arcos,
ଶ
‫ݕ‬஺ ൌ ‫ ݌‬൉ ‫ݏ‬஺ெ; ‫ݏ‬஺ெ ൌ 1,36 ݉; cumpliéndose la relación ‫ݕ‬஺ଶ ൌ ܽଶ ൅ ‫ݏ‬஺ெ
ଶ
‫ݕ‬஻ ൌ ‫ ݌‬൉ ‫ݏ‬ெ஻ ; ‫ݏ‬ெ஻ ൌ 15 ݉; cumpliéndose la relación ‫ݕ‬஻ଶ ൌ ܽଶ ൅ ‫ݏ‬ெ஻

4. Un cable de una línea de conducción de energía eléctrica pesa 30 N/m y está sujeto a
dos torres situadas a uno y otro lado del valle según se indica en la figura. El punto B está
10 m por debajo del punto A. El punto más bajo del cable está 5 m...