Formulario vectorial

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES
Definición
Extremos absolutos de funciones de dos variables
* Sea f una función de dos variables cuyo dominio es D. Se dice que f tiene un valor
máximoabsoluto en su dominio si existe algún punto ( x0, y0 ) en D tal que
f ( x0 , y0 )  f ( x, y)

 ( x, y)  D

Se dice que f ( x0 , y0 ) es el valor máximo absoluto de f en D.

* Sea f una funciónde dos variables cuyo dominio es D. Se dice que f tiene un valor
mínimo absoluto en su dominio si existe algún punto ( x0, y0 ) en D tal que
f ( x0 , y0 )  f ( x, y)

 ( x, y)  D

Se dice quef ( x0 , y0 ) es el valor mínimo absoluto de f en D.
Definición
Extremos relativos o locales
* Se dice que una función f de dos variables tiene un valor máximo relativo en ( x0, y0 ) si
existeuna región abierta R, subconjunto de D, tal que
f ( x0 , y0 )  f ( x, y)

 ( x, y)  R

* Se dice que una función f de dos variables tiene un valor mínimo relativo en ( x0, y0 ) si
existe unaregión abierta R, subconjunto de D, tal que
f ( x0 , y0 )  f ( x, y)

 ( x, y)  R

TEOREMA
Si f ( x, y ) existe en todos los puntos de una región abierta que contiene a ( x0, y0 ) y si f
tieneun extremo relativo en ( x0, y0 ), entonces si f x ( x0 , y0 ) y f y ( x0 , y0 ) existen,
f x ( x0 , y0 )  0 y f y ( x0 , y0 )  0

Definición
Punto crítico
Sea f una función de dos variablesdefinida en una región abierta R que contiene a ( x0, y0 )
El punto ( x0, y0 ) es un punto crítico de f si se satisface alguna de las siguientes
condiciones:

i) f x ( x0 , y0 )  0 y f y ( x0 ,y0 )  0
ii) f x ( x0 , y0 ) o f y ( x0 , y0 ) no existe
Ejemplos:
1. Determinar, si existen, los extremos relativos de la funciones definidas por

a)

f ( x, y )  6 x  4 y  x 2  2 y 2

b) g ( x, y )  9  x 2  y 2
c ) h ( x, y )  y 2  x 2
y su naturaleza.

TEOREMA
Criterio de la segunda derivada
Sea f una función de dos variables tal que ella y sus derivadas parciales de...