Formulario

ACADEMIA TAMARGO, S.L.

FORMULARIO Matemáticas II

(2º de Bachillerato)
ALGEBRA
MATRICES. DEFINICION: Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales

dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

 a11 a12   a21 a22 A =  a31 a32   ... ...   am1 am2

a13 a23 a33 ... am3

... a1n   ... a2 n  ... a3n   ... ...   ... amn 

TIPOS DEMATRICES: Matriz rectangular (matriz fila, matriz columna)

Matriz cuadrada ( Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior, Matriz triangular, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad, Matriz nula)
RANGO DE UNA MATRIZ : Número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor menor complementario distinto de cero. OPERACIONES CON MATRICES MATRIZ TRASPUESTA (At) a11 a12 a13    A =  a21 a 22 a 23    a a32 a33   31 
Propiedades: 1.-) (At)t = A 2.-) (A+B)t = At+Bt 3.-) (kA)t = kAt 4.-) (AB)t = BtAt 5.-) |At| = |A|

 a11 a21 a31    =  a12 a22 a32  A   a a23 a33   13 
t

Matriz simétrica: A simétrica si At = A (aij=aji) Matriz antisimétrica: A antisimétrica (o hemisimétrica) si At = -A (aij =-aji)

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MATRIZ OPUESTA (-A)

 a11 a12 a13    A =  a21 a 22 a 23    a a32 a33   31 

 − a11 − a12 − a13    − A =  − a 21 − a 22 − a 23    − a − a 32 − a 33   31 

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (kA) = k(aij) = (kaij)

 a11 a12 a13    A =  a 21 a22 a 23    a   31 a32 a33  A ∈ Μ (m, n)

 k a11ka12 k a31    kA =  k a21 ka22 ka23     ka   31 ka32 ka33  (kA) ∈ Μ (m, n)

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES (A±B) = (aij) ±(bij)

 a11 a12 a13    A =  a 21 a22 a 23    a a32 a33  31   A ∈ Μ (m, n)
 a11 ± b11  A ± B =  a 21 ± b21  a ± b 31  31 ( A ± B ) ∈ Μ (m, n)

 b11 b12 b13    B =  b21 b22 b23    b b32 b33  31   B ∈ Μ (m, n)
a12 ± b12 a 22 ± b22 a32± b32 a13 ± b13   a 23 ± b23   a 33 ± b33  

PRODUCTO DE MATRICES (AxB)

 a11 a12 a13    A =  a 21 a22 a 23    a a32 a33  31   A ∈ Μ (m, n)

 b11 b12 b13    B =  b21 b22 b23    b b32 b33  31   B ∈ Μ (n, p)

 a11 b11 + a12 b21 + a13 b31 a11 b12 + a12 b22 + a13 b32 a11 b13 + a12 b23 + a13 b33    AxB =  a21 b11 + a 22 b21 + a23 b31 + a22 b22 + a23 b32 + a22b23 + a23 b33  a 21 b12 a 21 b13   a b +a b +a b a31 b12 + a32 b22 + a33 b32 a31 b13 + a32 b23 + a33 b33  31 11 32 21 33 31   ( AxB) ∈ Μ (m, p) El producto de matrices no es conmutativo

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DETERMINANTES REGLA DE SARRUS (Resolución de determinantes de 2º y 3er orden).

a11 a12 a21 a22

= a11 a22 - a12a21

a11 a12 a13 a 21 a22 a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a 23 a32 - a12 a 21 a33 - a13 a22 a31 a31 a32 a33

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.-

det(A) = det(At) det(F1,F2,…,kFi,…,Fn) = k. det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi+Fi’,…,Fn) = det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) + det(F1,F2,…,Fi’,…,Fn) det(A.B) = det(A).det(B) det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,Fn) = -det(F1,F2,…,Fj,…,Fi,…,Fn) det(F1,F2,…,Fi,…,Fi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,kFi,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,0,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,αFi+βFj,…,Fn) = 0 det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) = det(F1,F2,…,aF1+bF2+Fi,…,Fn) det(kA) = kn det(A)

Menor complementario (αij) : El menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada A, de orden n, es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene alsuprimir la fila i y la columna j. i+j Adjunto (Aij) : Aij = (-1) .αij MATRIZ ADJUNTA (Ad)

 a11 a12 a13    A =  a21 a 22 a 23    a a32 a33  31  

       d A =       

a22 a 23 a32 a33 a12 a13 a32 a33 a12 a13 a22 a 23

-

a21 a23 a31 a33 a11 a13 a31 a33 a11 a13 a21 a23

-

a 21 a22   a31 a32     a11 a12   a31 a32    a11 a12   a 21 a22  ...