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Integrales trigonométricas

VII
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS

Áreas 1, 2 y 3

Diez fórmulas más habrán de agregarse al formulario actual de integrales del estudiante. Son seis correspondientes a las seis funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, y cuatro más correspondientes a las inversas de las derivadas de las seis funciones trigonométricas. Estoúltimo se refiere a que si la derivada de la tangente es la secante cuadrada, entonces la integral de la secante cuadrada es la tangente.

(17) (18) (19) (20) (21)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

sen u du = − cos u + c cos u du = sen u + c tanu du = ln secu = − ln cos u + c cot u du = ln sen u + c sec u du = ln ( tan u + sec u ) + c

72

Integrales trigonométricas

(22) (23) (24) (25) (26)

∫ ∫ ∫ ∫ ∫csc u du = ln ( csc u − cot u ) + c sec 2 u du = tanu + c csc 2 u du = − cot u + c tanu secu du = secu + c cot u cscu du = − csc u + c

Como en todos los casos de fórmulas nuevas, para emplearlas debidamente debe hacerse un cambio de variable, en donde u es el argumento de la función trigonométrica.

Ejemplo 1: Integrar Solución:



sen 9 x dx

En este caso el argumento es 9x, o sea queu = 9x , du = 9dx de donde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 9; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 9, de modo que:



sen 9 x dx =

1 9



sen 9 x [9 dx ]

sen u

du

73

Integrales trigonométricas

=

1 9



sen u du =

1 [ − cos u ] + c 9



sen 9 x dx = −

1 cos 9 x + c 9

Ejemplo 2:Integrar Solución:

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) dx

En este caso el argumento es 3x 2 - 4x + 11 , o sea que u = 3x 2 - 4x + 11 , du = (6x - 4)dx de donde

Para tener la diferencial du hay que multiplicar por 2; pero para que no se altere la integral original también debe dividirse entre 2, de modo que:

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) =

1 2



tan ( 3 x 2 − 4 x +11) ⎡ 2 ( 3 x − 2 ) dx ⎤ ⎣ ⎦

=

1 2



tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) ( 6 x − 4 ) dx

tan u

du

=

1 ln sec u + c 2

74

Integrales trigonométricas

∫ ( 3x − 2 ) tan ( 3x

2

− 4 x + 11) dx =

1 ln sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c 2

COMPROBACIÓN: Para efectos de abreviar símbolos al momento de referirse a la derivada del resultado de la integral, hágase I = Entonces

1 lnsec ( 3 x 2 − 4 x + 11) + c . 2

⎡ d sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) dI 1 ⎢ dx = ⎢ dx 2 ⎢ sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) ⎣

⎤ ⎥ ⎥+0 ⎥ ⎦

d ⎡ 2 2 2 ⎢ tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11) dx ( 3 x − 4 x + 11) 1 = ⎢ 2 ⎢ sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) ⎣
2 2 1 ⎡ tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x − 4 x + 11) ⎡( 6 x − 4 ) ⎤ ⎣ ⎦ = ⎢ 2 2 ⎢ sec ( 3 x − 4 x + 11) ⎣ 2 2 1 ⎡ 2 ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x − 4 x + 11) sec ( 3 x− 4 x + 11) = ⎢ 2 ⎢ sec ( 3 x 2 − 4 x + 11) ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

75

Integrales trigonométricas

dI = ( 3 x − 2 ) tan ( 3 x 2 − 4 x + 11) dx

EJERCICIO 25 (Áreas 1, 2 y 3) Realizar las siguientes integrales:

1) 3) 5) 7) 9) 11)



sen 13 x dx

2) 4) 6) 8) 10)



cos 4 x dx




tan ( 4 − 9 x ) dx
sec (11x + 12 ) dx
2

∫ ∫

cot (17 x + 6 ) dx csc(1 − 5 x ) dx
2

∫ ( x − 5) sen ( x

− 10 x + 1) dx
2

∫ ( 3x + 3) cos ( 5 x ∫ (x
2

+ 10 x + 10 ) dx

∫ ( 2 x − 3) tan ( 7 x ∫ (6x
2

− 21x + 9 ) dx

+ 6 x ) cot ( x 3 + 9 x 2 − 15 ) dx

− 6 x + 3) sec ( 8 x3 − 12 x 2 + 12 x − 13) dx

12)

∫ ∫

5 2x

sen

2 x dx

13)

∫ ∫

7 ⎛ 3 ⎞ cos ⎜ ⎟ dx 2 x ⎝ x ⎠ 2 ⎛ 5 ⎞ csc ⎜ 3 ⎟ dx 4 x ⎝ x ⎠

14)

11 ⎛ 9 ⎞ tan ⎜ 2 ⎟dx 3 x ⎝ x ⎠

15)

76

Integrales trigonométricas

TÉCNICAS Y RECURSOS DE INTEGRACIÓN (Área 2) Para integrar cualquier otra función trigonométrica que no pueda resolverse con un simple cambio de variable, tales como las estudiadas en las páginas precedentes de este capítulo, deben emplearse diferentes técnicas y recursos algebraicos para reducir la función original a una forma...
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